Le concept

Intuitivement la notion de fonction 'continue' correspond aux fonctions dont la représentation est une courbe 'continue' au sens usuel, c'est à dire pouvant être tracée d'un seul trait sans lever le crayon.
Représentation graphique d'une fonction continue:

Une telle représentation ne présente donc pas de 'décrochement' ou 'saut', c'est à dire qu'à des valeurs proches de la variable correspondent des valeurs proches pour les images.
Voici maintenant la représentation graphique d'une fonction présentant une discontinuité:

Comme la plupart des fonctions sont données par des formules mettant en jeu les 4 opérations, ainsi que l'exponentiation et des fonctions de base comme les fonctions trigonométriques, et que cette notion présente une bonne stabilité vis à vis des opérations algébriques, la plupart des fonctions ainsi construites seront continues.
En réalité, pour un domaine donné D, l'ensemble des fonctions continues sur D constitue une infime minorité de l'ensemble ℝD de toutes les fonctions numériques définies sur D. Nous sommes donc devant une situation paradoxale comparable à celle que nous avons déjà rencontrée avec les nombres réels. En théorie l'immense majorité des nombres sont transcendants, en pratique tous ceux qu'on manipule sont algébriques, voir même rationnels. De la même façon qu'on montre très peu de représentants d'une catégorie d'individus très majoritaire (les nombres π et e) on construira de rares exemples de fonctions non continues que l'on retrouvera toujours d'un exposé à l'autre, donnant ainsi l'impression que les fonctions discontinues sont rares et difficiles à montrer.

Hommage à ...

Karl Weierstrass (1815-1897/DE)
qui, sur la lancée de Cauchy, a grandement contribué à clarifier le concept de fonction continue.