Cette page suppose connus les résultats sur les limites et les opérations algébriques. Les résultats sur la continuité découlent immédiatement des résultats sur les limites.

Somme

Soient f et g deux fonctions définies sur D. Si f et g sont continues en x0 (resp. continues à gauche en x0, continues à droite en x0, continues sur D), alors f+g est continue en x0 (resp. continue à gauche en x0, continue à droite en x0, continue sur D).
(ℝD,+) est donc un groupe abélien additif.
Revoir la somme de deux fonctions.

Produit par un scalaire

Soient f une fonctions définie sur D et λ un réel quelconque. Si f est continue en x0 (resp. continue à gauche en x0, continue à droite en x0, continue sur D), alors λf est continue en x0 (resp. continue à gauche en x0, continue à droite en x0, continue sur D).
(ℝD,+,.) est donc un espace vectoriel réel.
Revoir le produit d'une fonction par un scalaire.

Produit

Soient f et g deux fonctions définies sur D. Si f et g sont continues en x0 (resp. continues à gauche en x0, continues à droite en x0, continues sur D), alors f×g est continue en x0 (resp. continue à gauche en x0, continue à droite en x0, continue sur D).
(ℝD,+,×) est donc une algèbre.
Revoir le produit de deux fonctions.

Quotient

Soient f et g deux fonctions définies sur D. Si f et g sont continues en x0 avec g(x0)≠0 (resp. continues à gauche en x0, continues à droite en x0, continues sur D et g non nulle sur D), alors f/g est continue en x0 (resp. continue à gauche en x0, continue à droite en x0, continue sur D).
Revoir le quotient de deux fonctions.

Continuité des fonctions usuelles

L'application des théorèmes précédents permettent de conclure rapidement à la continuité de nombreuses fonctions numériques définies par des formules mettant en jeu les opérations ci-dessus, en particulier les polynômes, les fonctions rationnelles.
Nous renvoyons le lecteur interessé aux exercices.