Définitions

On dit qu'une fonction numérique (g,D') définie sur D' 'prolonge' une fonction (f,D) définie sur D si D⊆D'.
De fait cette définition n'est pas nouvelle nous l'avons déjà rencontrée, en toute généralité, ici.
En outre, si f est continue sur D on dit que g est un 'prolongement continu' de f si g est elle-même continue sur son domaine.
Le problème du prolongement des applications continues est, en toute généralité, en dehors du strict cas des applications numériques de ℝ dans ℝ, assez important et fait l'objet de nombreux résultats profonds.

Exemples

Voici quelques cas simples:
Soit D=ℚ et soit f la fonction constante et égale à 1 sur D, alors il existe plusieurs prolongements (une infinité) de f à ℝ en particulier la fonction constante égale à 1 sur ℝ qui est continue partout, et la fonction caractéristique de ℚ qui n'est continue nulle part.
Voici une appliquette vous montrant des prolongement continus aléatoires.
Une fonction est définie sur [-1;+1] (graphe en vert).
Vous pouvez changer cette fonction en appuyant sur le bouton 'Nouvel exemple'.
Un prolongement aléatoire g de f par continuité est choisi aléatoirement.
Le graphe de g pour x∉[-1;+1] apparait en rouge.

Nous nous limiterons ici à deux résultats assez simples.

Cas où D est dense dans D'.

Si D est dense il existe au plus un prolongement par continuité de f à D'.
En effet pour tout nombre x'∈D' il existe une suite (xn) de points de D tendant vers x'. De sorte qu'un prolongement n'est possible que si la limite limn→∞f(xn) existe et g(x') doit alors être égal à cette valeur.
Ainsi la fonction constante et égale à 1 sur ℝ est l'unique prolongement de la fonction constante et égale à 1 sur ℚ.

Cas où D'=D∪{a}

Voici un autre exemple classique:
La représentation graphique de la fonction f(x)=sin(x)/x définie partout sauf en 0.
Cliquez sur 'Zoom+'/'Zoom-' pour changer d'échelle.

Ici limx→0f(x)=1 car 1/cos(x)≤f(x)≤1.
Ce cas est un cas particulier du premier.
Nous avons donc le résultat suivant, qui est un cas particulier du précédent:
f est prolongeable par continuité au point a si et seulement si: limx→a,x∈Df(x)=b existe.
Et on a alors nécessairement g(a)=b.
Ce résultat se généralise rapidement à un ensemble fini de valeurs, c'est à dire au cas où D'=D∪F où F={a1,a2, ... , an} Voici un exemple de fonction non prolongeable par continuité:
La représentation graphique de la fonction f(x)=sin(1/x) définie partout sauf en 0.
Cliquez sur 'Zoom+'/'Zoom-' pour changer d'échelle.

La fonction oscille au voisinage de 0.