Nous allons maintenant appliquer le théorème sur les fonctions réciproques à des fonctions polynômes extrêmement simples: les fonctions x → xn pour n entier >0.
Remarquons d'abord que ces fonctions sont toutes strictement croissantes sur ℝ+, comme on peut s'en rendre compte immédiatement avec le taux de variation.
Elles possèdent donc des fonctions réciproques continues définies également sur ℝ+.

Racines n-ièmes

La réciproque de x → xn se note x → x1/n et s'appelle racine-nième de x.
Voici une appliquette montrant les fonctions xn et leurs réciproques.
Cliquez sur 'n+' pour augmenter la puissance.
Cliquez sur 'n-' pour diminuer la puissance.

Puissances fractionnaires positives

Soient maintenant p et q deux entiers >0.
Pour tout x≥0 on pose xp/q = (x1/q)p.
On obtient ainsi des fonctions croissantes continues (produit de fonctions croissantes continues). Voici une appliquette montrant les fonctions x → xp/q.
Cliquez sur 'p+' pour augmenter le nombre p.
Cliquez sur 'p-' pour diminuer le nombre p.
Cliquez sur 'q+' pour augmenter le nombre q.
Cliquez sur 'q-' pour diminuer le nombre q.

Puissances fractionnaires négatives

Si p/q est négative xp/q est défini pour x≠0 comme 1/x-p/q .
On obtient des fonctions décroissantes.
Voici une appliquette montrant les fonctions x → xp/q, avec p négatif.
Cliquez sur 'p+' pour augmenter le nombre p.
Cliquez sur 'p-' pour diminuer le nombre p.
Cliquez sur 'q+' pour augmenter le nombre q.
Cliquez sur 'q-' pour diminuer le nombre q.

Les puissances fractionnaires positives ou négatives, obéissent aux règles de calcul usuelles avec les exposants.
Nous renvoyons le lecteur interessé aux exercices ex02 et ex03 pour les démonstrations.

Module 'math' langage Python

Tous les langages informatiques proposent des fonctions type 'pow' (anglais: power) pour les puissances fractionnaires (entre autres). Certains langages comme Python proposent des opérateurs (**) mais pas tous.
Voici un petit programme python montrant l'utilisation de la bibliothèque et des opérateurs :

Vous pouvez vous inspirer de ce programme pour résoudre l'exercice 01.