Cas d'un intervalle compact

Nous avons déjà vu que l'image par une fonction continue d'un intervalle compact est un intervalle compact.
Plus précisément, si f est continue sur [a,b], l'image de [a,b] par f est l'intervalle [m,M] où:
M=Supx∈[a,b]f(x)
m=Infx∈[a,b]f(x)
Que se passe-t-il maintenant si f est strictement croissante?
Dans ce cas bien évidemment:
m=f(a)
M=f(b)
et f est une bijection de [a,b] sur [f(a),f(b)].
Et si maintenant f est strictement décroissante?
M=f(a)
m=f(b)
et f est une bijection de [a,b] sur [f(b),f(a)].
Dans un cas comme dans l'autre f possède une bijection réciproque f-1:f([a,b]) →[a,b] Nous affirmons maintenant que:
Dans ce cas précis (f continue et strictement monotone), f-1 est également continue.
preuve:
Soit g la fonction de deux variables donnée par g(x,y)=y-f(x). Il suffit alors d'appliquer à g le théorème des fonctions implicites en inversant le rôle des deux variables x et y. On voit alors que f est partout 'localement inversible' (au sens de la composition) et que son inverse 'locale' est continue, mais son inverse 'locale' coïncide partout avec sa réciproque 'globale'.

Autres intervalles

Considérons maintenant le cas où I=]a,b[ et où f est continue et strictement croissante sur I.
Posons pour tout entier n≥1 In=[a+1/n,b-1/n] et Jn=[f(a+1/n),f(b-1/n)].
Alors il est clair que I est la réunion de tous les In et que J est la réunion de tous les Jn.
Soit fn:In → Jn la restriction de f à In.
Alors, d'après le théorème précédent, chaque fonction fn possède une réciproque continue fn-1:Jn → In.
On voit en outre que si n>m fm est la restriction de fn à Im et que fm-1 est la restriction de fn-1 à Jm.
Donc, en définitive, nous avons f-1(y)=fn-1(x) pour tout n tel que y∈Jn. Toutes les fn-1 étant continues f-1 est continue.
Nous laissons le lecteur envisager le cas des intervalles semi-ouverts et des intervalles non bornés (voir exercices).
En définitive:
Toute fonction continue f et strictement monotone sur un intervalle (quelconque) possède une réciproque elle aussi strictement monotone (de même variation que f) et également continue.
Voici une appliquette qui vous permet de visualiser les réciproques de quelques fonctions numériques continues.
Cliquer sur le bouton 'Suivant' pour changer la fonction f.
le graphe de f est tracé en vert.
La réciproque de f g=f-1 apparaît en rouge.
On constate que les deux graphes sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x, diagonale représentée en couleur bleue.