Définition de la continuité 'globale'.

On dit que f est continue sur son domaine D si f est continue en tout point de D.
La fonction 'partie entière' n'est donc pas continue sur ℝ puisqu'elle présente une discontinuité en chaque point de .

Autre caractérisation possible

Il existe une caractérisation de la continuité 'globale' n'utilisant pas la notion 'locale'.
f est continue sur D si et seulement si l'image réciproque de tout ouvert est un ouvert.

Supposons d'abord f continue.
Soit J un intervalle ouvert et soit x ∈f-1(J).
On a donc f(x)∈J par définition de l'image réciproque.
Puisque J est ouvert ∃ ε tel que ]f(x)-ε,f(x)+ε[ ⊆ J.
Mais par continuité de f en x, ∃ η>0 tel que z∈I=]x-η,x+η[ ⇒ f(z)∈ ]f(x)-ε,f(x)+ε[ ⊆ J.
On a donc bien f(I)⊆J, ce qui prouve que I ⊆ f-1(J).
Supposons maintenant que l'image réciproque de tout ouvert est un ouvert.
Soit x un élément quelconque de D et y=f(x) son image par f.
Soit ε>0 quelconque, et posons J=]y-&epsilon,y+ε[.
L'image réciproque de J est un ouvert et contient x.
Il existe donc η tel que ]x-η,x+η[ ⊆ f-1(J)
D'où f(]x-η,x+η[)⊆ J et f est continue en x.

Lien avec les suites récurrentes

Soit f une fonction numérique définie sur un domaine fermé D.
On suppose que f est continue sur D et que f(D)⊆D.
Dans ces conditions:
Si (un)n∈ℕ est une suite récurrente de points de D, définie par u0 et la relation un+1=f(un), alors si (un) est convergente vers une limite finie a, sa limite vérifie forcément l'équation f(a)=a.
Cela résulte simplement du paragraphe établissant le lien entre la continuité en un point et la limite d'une suite tendant vers ce point vu sur cette page.
En pratique ce résultat ne sert pas à démontrer la récurrence d'une suite convergente, mais il sert à trouver les valeurs possibles de la limite quand on sait qu'elle existe.