Définition

Si nous reprenons la définition de la continuité d'une fonction f au point x0, nous avons:
∀ ε>0 ∃ η tel que |x-x0|<η ⇒ |f(x)-f(x0)|<ε
Donc, de fait, le η dépend de ε mais aussi de x0, et nous avons déjà remarqué, qu'il devrait en toute rigueur être noté η(ε,x0), nous ne l'avons pas fait pour alléger les écritures.
Nous avons maintenant une nouvelle notion, plus forte, de continuité globale sur un domaine:
Nous dirons que f est 'uniformément continue sur D' si ∀ε>0 ∃η(ε)>0 tel que |x-x0|<η ⇒ |f(x)-f(x0)|<ε.
C'est à dire que le η ne dépend que de ε et non plus de x0.
Notons que cette définition est parfaitement symétrique en x et x0, et qu'elle peut être reformulée ainsi:
Il existe η tel que dès que la distance de deux points est inférieure à η la distance de leurs images est inférieure à ε.
Nous allons par la suite voir des exemples de fonctions uniformément continues sur leur domaine et des contre-exemples.
Voici tout d'abord un:

Théorème important

Toute fonction continue sur un intervalle compact [a,b] est uniformément continue sur cet intervalle.
Ce résultat est très souvent utile, particulièrement en théorie de l'intégration.
Avant de passer à la démontration nous insistons sur l'importance du fait que l'intervalle est fermé et borné.
Voici en effet un contre exemple simple:
Considérons la fonction x → 1/x. Cette fonction est continue sur l'intervalle ]0,1] mais n'est pas uniformément continue sur ce même intervalle. En effet posant xn=1/n on a toujours f(xn+1)-f(xn)=1 mais pour n grand xn et xn+1 peuvent être tous deux aussi voisins de 0 qu'on veut donc aussi proches l'un de l'autre qu'on veut. Ce qui montre que l'hypothèse 'intervalle fermé' est bien nécessaire.
Et en voici un autre:
Par ailleurs, la fonction x → x2 est continue sur l'intervalle fermé [0,+∞[, mais elle n'est pas uniformément continue sur ce même intervalle. En effet, si on pose xn=n et x'n=n+1/n la différence |xn-x'n| tend vers 0, alors que |f(xn)-f(x'n)|≥2 ∀n.
Nous pouvons maintenant passer à la preuve de notre assertion.

Supposons que f ne soit pas uniformément continue sur [a,b]. Alors il existerait un nombre ε>0 tel que ∀n∈ℕ on puisse trouver deux points xn x'n vérifiant |xn-x'n|<1/n et |f(xn)-f(x'n)|≥ε. On peut organiser les nombres xn, x'n ∈[a,b] en une suite unique en posant:
u0=x0, u1=x'0,u2=x1,u3=x'1,u4=x2, ... Donc u2n=xn et u2n+1=x'n.
On a donc |u2n-u2n+1|<1/n et |f(u2n)-f(u2n+1)|≥ε (&epsilon est ici une constante). De la suite (un) on peut extraire une suite partielle convergente vers une limite c∈[a,b] par le théorème de Bolzano-Weierstrass. Or f est continue en c. On peut donc dire que ∀μ>0 il existe un voisinage V de c tel que x,x'∈V ⇒ |f(x)-f(x')|<μ.
Soit (up(n) )une suite extraite de (un) tendant vers c. Alors pour tout voisinage V de c, tous les up(n) sont dans V. Mais la distance |up(n)-up(n+1)| est <1/p(n) donc <1/n, donc cette distance tend vers 0.
Pour n suffisamment grand on aura donc pour tout voisinage V de c up(n) et up(n+1) dans V. Il suffit donc de choisir un réel μ<ε.

Fonctions lipschitziennes

Rudolph Lipschitz-(1832-1903)-DE
Nous allons maintenant donner un exemple important de fonctions uniformément continues sur leur domaine. Ce sont les fonctions vérifiant une condition de Lipschitz.
On dit que f est k-lipschitzienne sur son domaine s'il existe une constante réelle positive k telle que:
|f(x)-f(x')|≤k|x-x'| ∀(x,x')∈D×D
Ces fonctions sont évidemment uniformément continues sur leur domaine. Mais il existe des fonctions continues sur leur domaine sans être pour autant lipschitziennes, il s'agit donc d'une condition suffisante sans être nécessaire (voir
exercice 02).
Un cas particulier important est quand la constante k vérifie k<1. On dit alors que f est 'contractante'.
On a alors un théorème important concernant les points fixes de telles applications:
Soit f une application contractante définie sur un fermé D et vérifiant f(D)⊆D.
  1. Il existe un unique point fixe a de f sur D.
  2. Pour tout x0∈D la suite récurrente (un)n∈ℕ définie par un+1=f(un) converge vers a.

On voit de suite qu'il ne peut exister deux points fixes distincts a et b car on a |f(b)-f(a)|≤k|b-a|<|b-a|.
Toute suite (un) telle que définie dans l'enoncé vérifie:
|un+1-un|≤k|un-un-1|
Et donc par récurrence: |un+1-un|≤kn|u1-u0|
On voit donc que c'est une suite de Cauchy, de sorte qu'il suffit d'appliquer le résultat enoncé ici.