Intuitivement le résultat que nous allons présenter ici dit que si deux demi-plans sont séparés par une droite, une courbe continue doit obligatoirement franchir la droite frontière pour aller d'un point d'un demi-plan à un point de l'autre.

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Résultat fondamental

Le théorème suivant est connu sous le nom de 'théorème de la valeur intermédiaire'.
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a,b] et soit m une valeur quelconque dans l'intervalle [f(a),(f(b)], alors il existe au moins un réel c∈[a,b] tel que f(c)=m.
Nous insistons bien sur le fait que le nombre c n'est pas nécessairement unique.
Une formulation équivalente est:
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

En remplaçant f par f-m on est ramené à montrer que si f est négative en a et positive en b alors f s'annule entre a et b (au sens large).
Soit X={x∈[a,b]|f(x)≤0} alors X possède une borne supérieure s dans ℝ.
Cette borne supérieure est dans [a,b] puisque [a,b] est fermé.
Montrons que f(s)=0.
Il est clair que d'après sa définition on peut trouver à gauche de s des nombres réels x aussi près de s qu'on veut et tels que f(x)≤0.
Il s'en suit par continuité qu'on a aussi f(s)≤0.
Si f(b)=0 on prend c=b et la démonstration est terminée.
Si f(b)>0 d'après la définition de s, il existe à droite de s des nombres réels x aussi près qu'on veut de s tels que f(x)>0.
D'où par continuité nécessairement f(s)≥0.
En conclusion f(s)=0.
Voici une appliquette vous permettant de visualiser ce théorème avec une fonction monotone, donc injective.
Vous pouvez: Aussitôt la valeur c ∈ [a,b] telle que f(c)=m apparait.

Fonctionnement identique à la précédente, mais avec une fonction continue non injective.
Il y aura cette fois 1, 2 ou même trois valeurs intermédiaires.