Le théorème

Le théorème des accroissements finis dit en substance que si un mobile se déplace entre deux instants distants t0 et t1 et que la vitesse moyenne entre ces deux instants est V alors il existe au moins un instant t strictement entre t0 et t1, telle que la vitesse instantanée à l'instant t soit égale à V.
Voici son ennoncé exact:
Soit f une fonction continue sur un intervalle compact [a,b] et dérivable sur l'intervalle ouvert ]a,b[ alors il existe c∈]a,b[ tel que f ' ( c ) = f ( b ) f ( a ) b a

Considérons la fonction g définie par g ( x ) = f ( b ) f ( x ) b x b a ( f ( b ) f ( a ) ) .
Cette fonction s'annule en a et en b. Cette fonction a pour dérivée g ' ( x ) = f ( b ) f ( a ) b a f ' ( x ) il suffit donc de lui appliquer le théorème de Rolle.

Voici une appliquette vous permettant de visualiser le théorème des accroissements finis.
Faire varier les paramètres a et b en tirant les points rouges avec la souris.
Le théorème s'applique à l'intervalle [a,b].
Constater qu'à chaque fois il y a (au moins) un point c entre a et b telle que la pente de la tangente en c soit égale au taux d'accroissement de la fonction entre a et b.

Inégalité des accroissements finis

C'est une conséquence immédiate du théorème ci-dessus.
Si f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. Si en outre |f'| est majorée par M sur ]a,b[, alors |f(a)-f(b)|≤M|b-a| et plus généralement |f(x2)-f(x1)|≤M|x2-x1| ∀ x1 ∈ [a,b] et ∀ x2 ∈ [a,b]
Autrement dit, dans les hypothèses de l'ennoncé, f est M-lipschitzienne sur [a,b].
Cet énoncé est très intuitif, il dit par exemple que si au cours d'un trajet, la vitesse instantanée d'un mobile ne dépasse jamais V alors sa vitesse moyenne ne peut dépasser V.

Conséquence

l'inégalité des accroissements finis possède une conséquence importante:
Si f est une fonction définie et continue sur [a,b] dérivable et de dérivée identiquement nulle sur ]a,b[, alors f est constante sur [a,b].
Ce résultat est en fait la réciproque (sur un intervalle) du résultat qui dit que la dérivée d'une fonction constante est nulle.