Dérivée d'une somme

Soient f et g deux fonctions numériques définies au voisinage de x0.
On suppose f et g toutes deux dérivables en x0.
Dans ces conditions la fonction somme f+g est également dérivable en x0 et (f+g)'(x0)=f'(x0)+g'(x0)
Cela résulte immédiatement de l'égalité:
Δ(f+g)(x0,x1)=Δf(x0,x1)+Δg(x0,x1) (voir cet exercice)

Dérivée d'un produit

Soient f et g deux fonctions numériques définies au voisinage de x0.
On suppose f et g toutes deux dérivables en x0.
Dans ces conditions la fonction produit f×g est également dérivable en x0 et (f×g)'(x0)=f'(x0)×g(x0)+g'(x0)×f(x0)
Cela résulte immédiatement de l'égalité:
Δf(x0,x1)(g(x0)+g(x1))+Δg(x0,x1)(f(x1)+f(x0))=2Δ(f×g)(x0,x1)(voir cet exercice)

Dérivée d'un quotient

Soient f et g deux fonctions numériques définies au voisinage de x0.
On suppose f et g toutes deux dérivables en x0.
On suppose en outre que g(x0)≠0. Dans ces conditions la fonction quotient f/g est également dérivable en x0 et ( f g ) ' ( x 0 ) = f ' ( x 0 ) g ( x 0 ) f ( x 0 ) g ' ( x 0 ) g ( x 0 ) 2
Cela résulte du fait que:
f g ( x 0 + h ) f g ( x 0 ) = ( f ( x 0 + h ) f ( x 0 ) ) g ( x 0 ) ( g ( x 0 + h ) g ( x 0 ) ) f ( x 0 ) g ( x 0 ) g ( x 0 + h )
D'où nous tirons:
Δ f g ( x 0 , x 0 + h ) = g ( x 0 ) Δf ( x 0 , x 0 + h ) f ( x 0 ) Δg ( x 0 , x 0 + h ) g ( x 0 ) g ( x 0 + h )
Il suffit maintenant de passer à la limite quand h→0 dans l'égalité ci-dessus, pour obtenir l'égalité voulue.

Dérivée d'un produit par un scalaire

Soient f une fonction numérique définie au voisinage de x0.
On suppose f dérivable en x0.
Dans ces conditions, si λ est un réel quelconque la fonction λf est également dérivable en x0 et (λf)'(x0)=λf'(x0)
Il suffit d'appliquer le résultat sur les produits avec la fonction constante g(x)=λ ∀x, sachant que les constantes ont une dérivée nulle.

Dérivée d'une différence

Soient f et g deux fonctions numériques définies au voisinage de x0.
On suppose f et g toutes deux dérivables en x0.
Dans ces conditions la fonction différence f-g est également dérivable en x0 et (f-g)'(x0)=f'(x0)-g'(x0)
Cela résulte de f-g=f+(-1)×g et des résultats précédents.

Dérivée d'une puissance

Soit fn la fonction numérique définie sur ℝ par fn(x)=xn. Alors fn est dérivable en tout point x0 et fn'(x0)=nx0n-1.
Cette propriété est vraie pour n=0 et n=1. Elle se démontre par récurrence sur n en utilisant la formule de dérivation d'un produit.

Dérivée d'une composée

Soit f une fonction numérique définie et dérivable au voisinage de x0.
Soi g une fonction numérique définie dans un voisinage de y0=f(x0) et dérivable en y0.
Alors gof est dérivable en x0 et (gof)'(x0)=g'(y0)×f'(x0)
On a Δgof(x0,x1)=Δg(f(x0),f(x(1))×Δf(x0,x1) si f est injective (voir cet exercice).
Mais si f(x0)=f(x1) on a Δf(x0,x1)=0 on a aussi Δgof(x0,x1)=0.
L'égalité Δgof(x0,x1)=Δg(f(x0),f(x(1))×Δf(x0,x1) est donc vraie dans tous les cas.
En faisant tendre x1 vers x0 on obtient l'égalité souhaitée.

Cas particulier

En combinant avec le résultat précédent il vient:
(fn)'(x)=nf'(x)f(x)n-1

Dérivée d'un polynôme

Un polynôme est une somme de monômes.
Un monôme est le produit d'une puissance de x par un scalaire.
Il suffit donc de combiner les règles précédentes.
Si f(x)=anxn+an-1xn-1+ ... +a2x2+a1x+a0, alors f'(x)=nanxn-1+(n-1)an-1xn-2+ ... +2a2x+a1.

Dérivée d'une fonction rationnelle

Si r(x) est une fonction rationnelle alors r ( x ) = p ( x ) q ( x ) où p(x) et q(x) sont des fonctions polynômes que l'on sait dériver.
D'où la fonction r est dérivable en tout point x telle que q(x)≠0 et r ' ( x ) = p ' ( x ) q ( x ) p ( x ) q ' ( x ) q ( x ) 2
r' est donc aussi une fonction rationnelle.

Cas particulier

r ( x ) = 1 x n avec n entier >0.
Alors la formule de dérivation des puissances reste valable pour les entiers négatifs.
La dérivée de 1/x est donc -1/x².
Utilisant cette dernière règle conjointement avec la règle de dérivation des composées on obtient:
(1/f)'(x)=-f'(x)/f(x)2.

Dérivées des fonctions trigonométriques

Cas du sinus

Nous avons l'identité sin ( x + h ) sin ( x ) h = 2 sin ( h / 2 ) cos ( x + h / 2 ) h = sin ( h / 2 ) h / 2 × cos ( x + h / 2 )
Comme lim h h 0 0 sin ( h ) h = 1 et que cosinus est une fonction continue, il en résulte que:
sinus est partout dérivable et sin'(x)=cos(x).

Cas du cosinus

Sachant que cos(x)=sin(x+π/2) et appliquant le théorème de dérivation des fonctions composées il vient immédiatement:
cos'(x)=-sin(x)

Cas de la tangente

On obtient la dérivée de la fonction tangente en utilisant la définition tan(x)=sin(x)/cos(x) et la règle de dérivation des quotients.
Il vient tan'(x)=1/cos2(x)=1+tan2(x) x≠kπ

Cas de la cotangente

On obtient la dérivée de la cotangente en remarquant que c'est l'inverse de la tangente.
Il vient cotan'(x)=-1-cotan2(x).

Café Python

Voici un programme effectuant un calcul de dérivées. Ce programme traite des expressions symboliques entrées sous forme de chaînes de caractères. Il traite les fonctions d'une variable, notée X, sans paramètres.

Ce programme est bien imparfait. Il ne reconnaît que les expressions bien parenthésées, sans aucun abus d'écriture.
Les règles de simplification sont, en l'état actuel, insuffisantes. Il existe beaucoup d'opérations non prises en charge (regroupement des mêmes puissances de la variable, etc.).
Il est perfectible, mais les programmes de ce type gagnent à utiliser des analyseurs lexicaux et des compilateurs spécialisés (LEX-YACC). Il existe un module python fournissant ces services (le module PLY).
Voir par exemple ce qui a été fait dans ce cours pour l'évaluation des expressions arithmétiques ainsi que pour l'évaluation des formules du calcul propositionnel, une grande partie du travail cependant, reste à la charge du programmeur.