Tout comme les deux théorèmes précédents, le théorème de Cauchy concerne les fonctions définies et continues sur un intervalle compact (a,b] et dérivables sur son intérieur.
De fait il s'agit d'une généralisation du théorème des accroissements finis, et comme lui c'est une conséquence directe du théorème de Rolle.
Voici son énoncé précis:
Soient f et g deux fonctions définies sur un même intervalle [a,b] b>a.
On suppose de plus que:
  1. f et g sont continues sur [a,b] b>a
  2. f et g sont dérivables sur ]a,b[
  3. g(b)≠g(a)
  4. f' et g' ne s'annulent jamais pour une même valeur de x.
Dans ces conditions il existe un nombre c ∈ ]a,b[ tel que f ( b ) f ( a ) g ( b ) g ( a ) = f ' ( c ) g ' ( c )
Cet énoncé porte également le nom de théorème des accroissements finis généralisés.

Soit h la fonction ainsi définie h ( x ) = f ( b ) f ( x ) f ( b ) f ( a ) g ( b ) g ( a ) . ( g ( b ) g ( x ) )
Cette fonction s'annule en a et en b. On peut donc lui appliquer le théorème de Rolle.
Il existe donc c ∈ ]a,b[ tel que f ' ( c ) = f ( b ) f ( a ) g ( b ) g ( a ) . g ' ( c )
Si g'(c) était nul f'(c) le serait aussi, en contradiction avec nos hypothèses.
On peut donc diviser par g'(c) pour obtenir notre théorème.
Voici une appliquette qui permet de visualiser ce théorème.
On peut faire varier a et b avec les curseurs en haut et à gauche de la zone graphique.
On peut changer les fonctions f et g avec les boutons du dessous.
Pour toutes les couples (a,b) un point c correspondant est calculé.
Visuellement le quotient (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) est la pente de la droite (corde) joignant les points M(a)=(f(a),g(a)) et M(b)=(f(b),g(b)).
La tangente à la courbe x → M(x)=(f(x),g(x)) au point de paramètre c a pour vecteur directeur (f'(c),g'(c)).
Notre théorème affirme le parallélisme entre cette tangente et cette corde.