Nombre dérivé de f en x0

Si f est une fonction numérique définie au voisinage de x0 on appelle 'nombre dérivé' ou encore 'coefficient dérivé' de f en x0, le nombre:
f' ( x 0 ) = lim x x 0 , x x 0 f ( x ) f ( x 0 ) x x 0
Si ce nombre existe, bien entendu.
Il s'agit donc bien de la limite d'un taux de variation, donc de la limite de la pente d'une sécante, donc de la pente d'une tangente si nous convenons d'appeler 'tangente' en x0 la position limite de la sécante passant par les points (x0,f(x0)) et (x,f(x)) lorsque x tend vers x0.
Si le coefficient f'(x0) existe on dit que f est 'dérivable' en x0.

Exemples

Notations

Joseph-Louis Lagrange (1736/1813-FR/IT)
La notation que nous avons utilisée pour désigner le nombre dérivé de f en x0, soit f'(x0), est connue sous le nom de 'notation de Lagrange'.
Parallèlement à la notation de Lagrange la notation dite 'de Leibniz' soit df dx ( x 0 ) est également d'un usage courant.

Autre expression du nombre dérivé en un point

Le nombre dérivé de f en x0 peut également s'écrire comme limite en faisant intervenir la différence h=x-x0:
lim h h 0 0 f ( x 0 + h ) f ( x 0 ) h
Voici une appliquette vous montrant pour une certaine courbe (y=0.4x2):

Dérivée à droite à gauche

Il se peut, comme dans le cas de la fonction valeur absolue, que la dérivée en x0 n'existe pas cependant que lim h h > 0 0 f ( x 0 + h ) f ( x 0 ) h existe.
On dit dans ce cas que f est 'dérivable à droite' en x0, et cette limite s'appelle le 'nombre dérivé à droite' de f en x0 et se note f d ' ( x 0 )
De la même façon si lim h h < 0 0 f ( x 0 + h ) f ( x 0 ) h existe, on dit que f est 'dérivable à gauche' en x0 et cette limite se note f g ' ( x 0 )
Il résulte évidemment des théorèmes sur les limites unilatérales que:
Une condition nécéssaire et suffisante pour que f soit dérivable en x0 est que f soit dérivable à gauche et à droite en x0 et que f d ' ( x 0 ) = f g ' ( x 0 )

Equation de la tangente

On suppose f dérivable en x0. On sait que l'équation d'une droite est de la forme y=ax+b.
On sait aussi que la tangente au point (x0,f(x0): Il en résulte que a=f'(x0) et b=f(x0)-f'(x0).x0 Nous avons donc:
L'équation de la tangente à la coube représentative de la fonction f au point d'abscisse x0 est y=f'(x0)x+(f(x0)-f'(x0)x0)

Approximation affine de f au voisinage de x0

L'assimilation de la courbe à sa tangente au voisinage de x0 donne:
f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x-x0)
Soit encore:
f(x0+h)≈f(x0)+f'(x0)h
Cela dit, si on veut un ordre de grandeur de la différence δ(h)=f(x0+h)-f(x0)-f'(x0)h, on voit que par définition même de la dérivée en x0, on a limh→0δ(h)/h=0, donc:
δ(h)=o(h) pour h→0 avec les notations de Landau.
Voici une appliquette qui vous permet de visualiser δ(h)/h en fonction de h quand h varie f étant une fonction du second degré.
Le fonctionnement est identique à celui de la précédente.

Lien entre dérivabilité et continuité

Si h est dérivable en x0 alors lim h h 0 0 f ( x 0 + h ) f ( x 0 ) = lim h h 0 0 f ( x 0 + h ) f ( x 0 ) h × h = f ' ( x 0 ) × 0 = 0
Il s'en suit que:
Si f est dérivable en x0 alors f est continue en x0.
La réciproque est fausse comme le montre une fois encore l'étude de la fonction valeur absolue au voisinage du point x0=0.