Au 19° siècle la plupart des mathématiciens pensaient que le théorème des valeurs intermédiaires caractérisait les fonctions continues, en ce sens qu'elles étaient les seules à posséder cette propriété. Gaston Darboux (1842/1917-FR) mit fin à cette croyance.

Il a montré du même coup qu'une fonction dérivée n'est pas n'importe quoi, en ce sens qu'une fonction quelconque n'est pas toujours la dérivée d'une autre fonction.
Le théorème de Darboux, dit en substance que les dérivées des fonctions possèdent, tout comme les fonctions continues, la propriété de la valeur intermédiaire.
Si f est dérivable sur [a,b] (c'est à dire dérivable sur ]a,b[ dérivable à droite en a, dérivable à gauche en b). Si m est un nombre entre f'(a) et f'(b), alors il existe c ∈ ]a,b( tel que f'(c)=m.

Soit g la fonction définir sur [a,b] par
g(x)=f(x)-m(x-a)
Alors g est continue et elle atteint donc un minimum sur [a,b] (revoir ce résultat), en un point c ∈ [a,b].
Ce point ne peut être ni a ni b car g'(a)=f'a)-m<0 et g'(b)=f'(b)-m>0.
Donc la dérivée de g en c est nulle, g'c)=0 ⇔ f'(c)=m CQFD.