Galerie des portraits

Voici les deux contributeurs principaux au calcul différentiel, du moins à ses débuts.
Isaac Newton (1643/1727-UK) Wilhelm Leibniz (1646/1716-DE)

Approche intuitive

Notion de vitesse moyenne

Considérons un point mobile M(t) en mouvement rectiligne, qui se déplace donc sur un axe orienté. Sa position est repérée à tout instant t par son abscisse x(t) sur cette axe.
La 'distance algébrique' parcourue entre les instants t0 et t est donc:
x ( t ) x ( t 0 )
La 'vitesse moyenne' du mobile entre les instants t0 et t est donc:
x ( t ) x ( t 0 ) t t 0
Exemple
Simulation de la chute d'un corps dans le vide.
En abscisses l'axe des temps gradué en secondes.
En ordonnées les distances en mètres.
La loi est x(t)=-(1/2)gt2 où (g est l'accélération de la pesanteur soit environ 9.81 m/s2)
Appuyer sur le bouton 'Go' pour simuler le lâcher du corps.
Appuyer sur 'stop/restart' si vous voulez arrêter le processus de chute pour voir les paramètres.
Appuyer sur 'stop/restart' pour reprendre le processus de chute où vous l'avez arrêté.
Le bouton 'Go' vous permet également de recommencer un nouveau lâcher, après la fin du processus.
L'abscisse du mobile en m et sa vitesse moyenne en m/s depuis le départ sont affichés pour les temps correspondant à des secondes.
Cette vitesse moyenne est la pente de la droite tracée en rouge.

Même chose que la précédente, mais cette fois ce sont les vitesses moyennes entre deux instants consécutifs entiers t et t+δt qui s'affichent.
Ces vitesses moyennes sont les pentes des sécantes à la courbe représentative de x(t) passant par les points (t,x(t)),(t+δ,x(t+δ)).
Vous pouvez fixer δ au début de la descente avec le curseur entre 0.2 et 1.
Nous sommes ici en présence d'un mouvement à vitesse non constante, ou encore d'un mouvement accéléré.

Notons qu'une vitesse moyenne correspond exactement à un taux de variation.

Vitesse instantanée

Nous voulons maintenant, donner un sens à la vitesse précise 'à l'instant t0' de notre mobile en chute libre.
Il est donc logique de calculer la vitesse moyenne entre l'instant t0 et un instant t de plus en plus rappoché de t0.
Sachant que la vitesse moyenne est un taux de variation, la vitesse instantanée apparaîtra donc comme la limite d'un taux de variation entre deux instants (si cette limite existe, bien sûr).
v ( t 0 ) = lim t t 0 , t t 0 x ( t ) x ( t 0 ) t t 0
Calculer une vitesse instantanée revient donc à lever une indétermination de la forme 0 0 .
Dans notre cas:
Δx ( t 0 , t ) = 1 2 g ( t 0 + t )
d'où:
v(t0)=gt0
Graphiquement, la vitesse instantanée sera représentée par la pente de la position limite de la sécante à la courbe x(t) entre les points d'abscisse t et t0 lorsque t tend vers t0, c'est exactement ce qu'on appelle une 'tangente'.
Même utilisation que les deux précédentes, mais cette fois ce sont les vitesses instantanées (pentes des tangentes tracées en rouge) qui s'affichent.

Il peut être intéressant de comparer les résultats affichés pour les vitesses par cette appliquette (vitesses instantanées) et l'appliquette précédente (vitesses moyennes entre deux instants distants d'une seconde).
On constatera que plus t augmente et plus la différence relative entre la vitesse moyenne et la vitesse instantanée diminue.
Cela est dû au fait que pour des valeurs de t de plus en plus grandes la courbure de la parabole diminue et, de ce fait, la sécante entre deux instants qui diffèrent d'une unité tend à se confondre avec la tangente.

Généralisation

La dérivée, que nous allons présenter dans les pages qui suivent, est un outil pour modéliser des taux de variation instantanés, comme: