Résultat fondamental

Soit f une fonction numérique définie au voisinage de x0 et dérivable en x0, on suppose en outre que f'(x0) est strictement positive.
Dans ces conditions il existe ε>0 tel que |x-x0|<ε ⇒ f(x)>f(x0) si x>x0 et f(x)<f(x0) si x<x0.
En effet, soit Δf(x0,x) le taux de variation de f de x0 à x, comme par définition de la dérivée limx→x0Δf(x0,x)>0 il existe ε>0 tel que |x-x0|<ε ⇒ Δf(x0,x)>0.
Evidemment nous avons le résultat symétrique:
Soit f une fonction numérique définie au voisinage de x0 et dérivable en x0, on suppose en outre que f'(x0) est strictement négative.
Dans ces conditions il existe ε>0 tel que |x-x0|<ε ⇒ f(x)<f(x0) si x>x0 et f(x)>f(x0) si x<x0.
Tout cela apparaît clairement dans l'appliquette suivante que nous avons déjà vue:

Condition nécessaire pour un extremum local

Nous supposons connues les notions de minimum local et maximum local d'une fonction.
Nous supposons que I est un intervalle compact [a,b] et que f est continue sur I. Soit x0 un extremum local de f sur I, on suppose f dérivable en x0, alors on a nécéssairement f'(x0)=0.
C'est en effet une conséquence directe du paragraphe précédent et de la définition d'un extremum local.
Remarquons que:
L'annulation de la dérivée est une condition nécessaire mais nullement suffisante pour l'existence d'un extremum local.
On le voit très bien sur le dernier exemple (n°7) de l'appliquette suivante: