La formule de Leibniz ressemble à la formule du développement du binôme de Newton.
Elle concerne les dérivées d'ordre supérieur d'un produit de deux fonctions et peut s'énoncer ainsi:
( fg ) ( n ) = k = 0 n n k f ( k ) g ( n k ) où les n k représentent les coefficients binomiaux
La preuve s'obtient en utilisant un raisonnement par récurrence, conjointement avec la formule de dérivation d'un produit.
La formule est vraie pour n=0 et n=1.
De plus ( fg ) ( n + 1 ) = ( ( fg ) ( n ) ) ( 1 )
( fg ) ( n + 1 ) = k = 0 n n k . ( f ( k ) ( 1 ) g ( n k ) + f ( k ) g ( n k ) ( 1 ) )
( fg ) ( n + 1 ) = k = 0 n n k . ( f ( k + 1 ) g ( n k ) + f ( k ) g ( n + 1 k ) )
( fg ) ( n + 1 ) = k = 0 n n k . f ( k + 1 ) g ( n + 1 ( k + 1 ) ) + k = 0 n n k . f ( k ) g ( n + 1 k )
( fg ) ( n + 1 ) = k = 1 n + 1 n k-1 . f ( k ) g ( n + 1 ( k ) ) + k = 0 n n k . f ( k ) g ( n + 1 k )
( fg ) ( n + 1 ) = k = 1 n n k 1 . f ( k ) g ( n + 1 ( k ) ) + k = 1 n n k . f ( k ) g ( n + 1 k ) + f ( n + 1 ) g + f g ( n + 1 )
et finalement:
( fg ) ( n + 1 ) = k = 0 n + 1 n + 1 k . f ( k ) g ( n + 1 k )
parce que:
n + 1 k = n k + n k 1 pour 1≤k≤n