Galerie des portraits

Le théorème qui suit permet de lever des indéterminations dans le cas de quotients de la forme 0/0 ou ∞/∞.
Ce résultat est attribué au mathématicien français Guillaume de l'Hospital (ou de l'Hôpital) parce qu'il est le premier à l'avoir publié.
Il y a de sérieuses raisons de penser que l'auteur véritable est le suisse Jean Bernoulli.
Guillaume de l'Hospital (1661/1704-FR) Jean Bernoulli (1667/1748-CH)

Enoncé du théorème initial

Soient f et g deux fonctions dérivables sur ]a,b[, et tendant vers 0 toutes les deux pour x→a+.
On suppose que g'(x) ne s'annule pas dans un voisinage de a et que lim x x > a a + f ' ( x ) g ' ( x ) = L
Dans ces conditions lim x x > a a + f ( x ) g ( x ) = L aussi.
ce résultat vaut que L soit un nombre réel ou +∞ ou -∞
La preuve résulte immédiatement du théorème de Cauchy, sachant que f et g peuvent être prolongées par continuité en a en posant f(a)=g(a)=0.
Il va de soi que par symétrie:
Le théorème reste valable quand f et g deux fonctions dérivables sur ]b,a[, et tendant vers 0 toutes les deux pour x→a-.

Première généralisation

Le théorème précédent s'applique à des fonctions dont la limite en a est infinie.

Les hypothèses faites permettent de supposer que g'(x) ne s'annulent pas sur ]a,b[, on peut donc appliquer le théorème de Cauchy à tout intervalle [x,y]⊆ ]a,b[.
Donc, ∃ c ∈ ]x,y[ | f ( x ) f ( y ) g ( x ) g ( y ) = f ' ( c ) g ' ( c )
Puisque la limite de g en a+ est infinie, quitte à prendre b plus près de a on peut supposer que g ne s'annule pas sur ]a,b[.
L'égalité ci-dessus peut être réécrite f ( x ) g ( x ) = ( 1 g ( y ) g ( x ) ) × f ' ( c ) g ' ( c ) + f ( y ) g ( x ) Comme lim x x > a a + f ' ( x ) g ' ( x ) = L
Dans ces conditions lim x x > a a + f ( x ) g ( x ) = L et que c ∈]a,y[ on peut toujours choisir y tel que f'(c)/g'(c) soit aussi proche qu'on veut de L.
Comme la limite de g(x) pour x→a+ est infinie, Les quotients g(y)/g(x) et f(y)/g(x) sont aussi près de 0 qu'on veut pourvu que x soit suffisamment près de a, d'où notre résultat.

Seconde généralisation

Les résultats précédents sont valables pour x tendant vers un infini.

Pour x → +∞ par exemple posons F(x)=f(1/x) et G(x)=g(1/x). On a F ' ( x ) = f ' ( x ) × 1 x 2 et G ' ( x ) = g ' ( x ) × 1 x 2
Donc F'(x)/G'(x)=f'(x)/g'(x) de sorte qu'il suffit d'appliquer le théorème en 0 aux fonctions F et G.

Itérations

La règle de L'Hospital quelle que soit sa forme peut être itérée.
En effet, cette règle dit en substance, que pour calculer la limite d'un quotient on peut remplacer les fonctions par leurs dérivées. Mais à leur tour on peut remplacer ces dérivées par leurs propres dérivées, c'est à dire par les dérivées secondes des fonctions initiales, et ainsi de suite.

Exemples d'application

Avant toute chose on remarquera que la règle de l'Hospital donne des conditions suffisantes pour l'existence de la limite d'un quotient mais ces conditions ne sont nullement nécessaires.
Prenons par exemple f(x)=x2sin(1/x) et g(x)=x. On voit immédiatement que limx→0f(x)/g(x)=0. Cependant le quotient des dérivées est f'(x)/g'x)=2xsin(1/x)-cos(1/x) n'admet pas de limite en 0.
Attention, donc à ne pas utiliser la règle de l'Hospital 'à l'envers' en concluant que lim f(x)/g(x) n'existe pas parce que lim f'(x)/g'(x) n'existe pas.
On veut maintenant calculer lim x x 0 0 cos ( 2 x ) 1 x 3 + 5 x 2
On remplace dividande et diviseur par leurs dérivées, on obtient lim x x 0 0 2 sin ( 2 x ) 3 x 2 + 10x
On remplace à nouveau par les dérivées lim x x 0 0 4 cos ( 2 x ) 6 x + 10
Cette fois il n'y a plus d'indétermination la limite est 2/5.