Dérivée seconde

Soit D une partie de ℝ et f une fonction définie et dérivable sur D de dérivée f'.
Il se peut qu'à son tour la fonction f' soit dérivable sur D. Dans ce cas la dérivée de cette dérivée soit (f')' se note f" et s'appelle la 'dérivée seconde' de f.
Que mesure la dérivée seconde et à quoi sert-elle? Reprenons l'exemple, emprunté à la cinématique, d'un point en mouvement. La dérivée première x'(t) représente la vitesse instantanée v(t) du mobile. Le rapport v ( t 0 + h ) v ( t 0 ) h représente la variation de cette vitesse entre les instants t0 et t0+h.
Ainsi si ce taux de variation est négatif c'est que la vitesse décroît, s'il est positif c'est qu'elle croît. Ce taux représente ce que nous appelons couramment "l'accélération moyenne" entre les instants t0 et t0+h.
Ainsi, la dérivée seconde, si elle existe, représentera "l'accélération instantanée" du mobile.
Si la dérivée seconde s'annule, cela veut dire que le mobile cesse d'accélérer (ou de décélérer). Suite à un tel évènement la vitesse peut varier dans l'autre sens ou reprendre sa variation dans le même sens.
Les annulations de la dérivée seconde serviront donc à déceler les extrema de la vitesse, sachant qu'il s'agit une fois encore d'une condition nécessaire.
Reprenons le cas de la chute d'un corps, x(t)=-(1/2)gt2. Dans ce cas x'(t)=-gt et x"=-g. Il s'agit donc d'un mouvement à accélération constante dit 'uniformément accéléré'. Pour un mouvement dit 'uniforme' x(t)=vt, la vitesse est constante et l'accélération est nulle.
Nous avons vu que les extrema locaux d'une fonction correspondent aux annulations de sa dérivée avec changement de signe. Donc, au cas où la dérivée elle-même ne présente pas un extremum. Ainsi une dérivée première nulle, conjointement avec une dérivée seconde non nulle, nous garantit un extremum de la fonction.
Réciproquement une inflexion force une dérivée seconde nulle, mais cette fois encore il s'agit d'une condition nécessaire, d'où la nécessite de dériver encore une fois si possible, etc... ce qui justifie la suite.
Voici une appliquette qui montre une fonction f (graphe vert), sa dérivée (graphe bleu), sa dérivée seconde (graphe marron).
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Dérivées d'ordre n.

On peut, bien sûr, définir la dérivée troisième f''' de f qui est la dérivée de la dérivée seconde, et ainsi de suite, par récurrence:
La dérivée n-ième de f est la dérivée (si elle existe) de la dérivée n-1-ième de f'.
On utilise couramment la notation f(n)(x) pour la dérivée n-ième de x, pour ne pas confondre avec les puissances de f, mais on utilise également d n f dx n ( x )
Il résulte de la définition que f(n)(x)=(f(n-1))'(x)=(f')(n)(x) et plus généralement que (f(p))(q)(x)=f(p+q)(x)

Fonctions de classe Cn

On dit que f est de classe Cn sur D ou encore appartient à Cn(D) si f est n fois dérivable sur D et si f(n) est continue sur D.
Par convention les fonctions de C0(D) sont tout simplement les fonctions continues sur D.
On dit que f est de classe C sur D ou encore appartient à C(D) si f ∈ fn(D) ∀n ∈ .
On vérifie facilement que si n est un entier naturel quelconque et si f ∈ Cn(D) et g ∈ Cn(D) alors:
Le même résultat vaut si on remplace partout n par ∞
Il résulte de ce qui précède que:
Pour tout entier n, Cn(D) est muni d'une structure d'espace vectoriel réel (et même d'algèbre).
On peut évidemment dire la même chose de C(D). En outre,
Si m≥n Cm(D) est un sous-espace de Cn(D) et l'application f → f' est une application linéaire de Cn+1(D) dans Cn(D)
Il résulte en outre du théorème des accroissements finis que si D est un intervalle I, le noyau de cette application linéaire est exactement le sous-espace des fonctions constantes sur I.

Exemples

  1. Les fonctions polynomiales sont de classe C sur ℝ en outre si p(x) est un polynôme de degré n toutes ses dérivées d'ordre m avec m>n sont nulles.
  2. Si F est un ensemble fini de points de ℝ, les fonctions rationelles qui ne s'annulent pas en dehors de F sont de classe C sur ℝ-F.

Café Python

Il existe un module faisant du calcul symbolique. Il s'agit du module 'sympy'.
Voici quelques exemples d'utilisation.