Expression d'un polynôme suivant les puissances croissantes d'un autre

Le résultat qui suit ressemble fort à la l'écriture d'un entier naturel en base b.
Soit b(x) un polynôme de degré ≥1 et soit p(x) un polynôme quelconque. Alors il existe une suite de polynômes a0(x),a1(x), ...,an(x), tels qu'on ait:

Le résultat est évident si degré(p)<degré(b), dans ce cas a0=p et tous les ai pour i≥1 sont nuls.
On raisonne par récurrence sur le degré de p.
Supposons que degré(p)≥degré(b)
On commence par faire une division euclidienne de p(x) par b(x).
On peut donc écrire:
p(x)=a0(x)+q(x)b(x)
On a bien évidemment degré(a0)<degré(b) de sorte qu'il suffit d'appliquer l'hypothèse de récurrence au polynôme q.
Voici un programme Python qui effectue cette décomposition

Cas où b(x) est de degré 1

Il résulte de ce qui précède que quand b(x) est de degré 1 les polynômes ai(x) sont des constantes.
En particulier si b(x)=x-a, et si p(x) est de degré n, on peut écrire: p(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)2+ ... +an(x-a)n
où a0,a1,a2, ... ,an sont n+1 constantes réelles.
On peut calculer ces constantes au moyen des dérivées successives de p:
On a:
a0=p(a)=p(0)(a)
a1=p'(a)=p(1)(a)
......
ak=p(k)(a)/(k!)
.....
an=p(n)(a)/(n!)

Si on veut calculer p(k)(x) au moyen du développement en somme =a0+a1(x-a)+a2(x-a)2+ ... +an(x-a)n, on s'aperçoit que les termes d'indice i<k donnent une contribution nulle car à chaque opération de dérivation on tombe le degré d'une unité.
Pour les termes de degré>k il donnent chacun un polynôme multiple de (x-a) (règle de dérivation d'une puissance).
Le seul terme suceptible de donner une contribution non nulle à p(k)(a) est donc gk(x)=ak(x-a)k.
Mais il est facile de voir que (gk)'(x)=kak(x-a)k-1 , gk"(x)=k(k-1)ak(x-a)k-2 et finalement gk(k)(x)=k(k-1)(k-2)...2.1.ak
Donc ak=p(k)(a)/k!

Conséquence pour les racines multiples

p(x) désignant un polynôme quelconque, il y a équivalence entre:
C'est une conséquence immédiate du résultat qui précède et de la définition de la multiplicité d'une racine.