Formule

On suppose que les points A et B d'une part, C et D d'autre part, sont symétriques par rapport à la première diagonale d'équation y=x. Alors si p est le coefficient directeur de la droite (AB) et q le coefficient directeur de la droite (CD) on a pq=1.
Preuve: Le coefficient directeur p de (AB) est y B y A x B x A et le coefficient directeur q de (CD) est et le coefficient directeur de (CD) est y D y C x D x C .
Pour raison de symétrie xC=yA yC=xA xB=yD yB=xD, d'où le résultat. Il en résulte que:
Si f est une fonction bijective au voisinage de x0 et si g est la bijection réciproque de f au voisinage de y0=f(x0), et si f est dérivable en x0 et que f'(x0)≠0, alors g est dérivable en y0 et g'(y0)=1/f'(x0).
Il suffit d'appliquer la remarque précédente aux points A(x0,f(x0)), B((x0+h,f(x0+h)) et à leurs symétriques par rapport à la première diagonale, et de faire tendre h vers 0.
Voici une appliquette vous montrant une fonction et sa réciproque.
Vous pouvez faire varier x0 entre -3 et +3 en tirant le point rouge.
En tirant le point x0h vous pouvez faire varier h entre -2 et +2.
Observez ce qui se passe quand h=0.

Application aux puissances fractionnaires

Appliquons le résultat précédent à la fonction f: x → xn en tout point x≠0. Soit g la réciproque de f, de sorte que:
y=f(x) ⇔ x=g(y) En tout x≠0 on a f'(x)=nxn-1
Donc g ' ( y ) = 1 n x n 1 = 1 n y n 1 n = 1 n y 1 n 1
Soit maintenant m un entier >0 et soit G la fonction gm.
Alors en appliquant la régle de dérivation des puissances il vient G'(y)=mg(y)m-1g'(y)
Soit encore G ' ( y ) = m × y m 1 n × 1 n × y 1 n 1 = m n × y m n 1
De sorte que si nous posons r=m/n nous avons G(y)=yr et G ' ( y ) = r y r 1 ce qui prouve que:
La règle de dérivation des puissances, valable pour les entiers positifs et négatifs s'étend aux exposants fractionnaires positifs.
Posons maintenant H(y)=y-r=1/G(y).
Nous avons donc H ' ( y ) = G ' ( y ) G ( y ) 2 = r y r 1 y 2 r = r y r 1 ce qui prouve que:
La règle de dérivation des puissances s'étend à tous les exposants fractionnaires positifs ou négatifs.

Application aux fonctions trigonométriques

Cas du sinus

Soit f la fonction sinus et g la réciproque de f c'est à dire que f(x)=sin(x) et g(y)=arcsin(y).
f est donc une bijection de [-π/2,+π/2] sur [-1,+1]
g est donc une bijection de [-1,+1] sur [-π/2,+π/2]
Pour tout y∈[-1,+1] on a g'(y)=1/f'(x)=1/cos(x).
Mais on a sin2(x)+cos2(x)=1 et si x∈[-π/2,+π/2] cos(x)≥0, donc: cos(x)=√(1-sin2(x))=√(1-y2) d'ou la formule:
arcsin ' ( y ) = 1 1 y 2

Cas du cosinus

Soit f la fonction cosinus et g la réciproque de f c'est à dire que f(x)=cos(x) et g(y)=arccos(y).
f est donc une bijection de [0,+π] sur [-1,+1]
g est donc une bijection de [-1,+1] sur [0,+π]
Pour tout y∈[-1,+1] on a g'(y)=1/f'(x)=1/-sin(x).
Mais on a sin2(x)+cos2(x)=1 et si x∈[0,+π] sin(x)≥0, donc: sin(x)=√(1-cos2(x))=√(1-y2) d'ou la formule:
arccos ' ( y ) = -1 1 y 2
On peut s'étonner de voir que les deux fonctions arcsin et arccos ont des dérivées opposées alors qu'elles ne sont pas opposées. Mais en fait on a la relation arcsin(y)+arccos(y)=π/2 et on sait que les dérivées des constantes sont nulles. Ce résultat est donc cohérent.

Cas de la tangente

Soit f la fonction tangente et g la réciproque de f c'est à dire que f(x)=tan(x) et g(y)=arctan(y).
f est donc une bijection de ]-&pi/2,+π/2[ sur ]-∞,+∞[
g est donc une bijection de ]-∞,+∞[ sur ]-&pi/2,+π/2[
Pour tout y∈]-∞,+∞[ on a g'(y)=1/(1+tan2(x))=1/(1+y2), d'où la formule:
arctan ' ( y ) = 1 1 + y 2
Cette formule est très importante, elle est d'un usage constant en calcul intégral.