Le résultat qui suit a été publié initialement en 1690 par le mathématicien français Michel Rolle.

Soit f une fonction numérique définie et continue sur l'intervalle compact [a,b] on suppose en outre que f est dérivable en tout point de ]a,b[.
Dans ces conditions, si f(a)=f(b) il existe au moins un point x0∈]a,b[ tel que f'(x0)=0.
La preuve est immédiate:
Soit f est constante sur [a,b] auquel cas f'(x)=0 ∀x∈]a,b[.
Soit f prend des valeurs > f(a), dans ce cas f admet sur [a,b] un maximum (absolu) (revoir ce résultat) et ce maximum ne peut être f(a), il est donc atteint en un point x0∈]a,b[.
Soit f prend des valeurs <f(a), dans ce cas f admet sur [a,b] un minimum (absolu) (revoir ce résultat) et ce minimum ne peut être f(a), il est donc atteint en un point x0∈]a,b[.
De sorte qu'il suffit d'appliquer la condition nécessaire pour un extremum local.
Voici une appliquette vous permettant de visualiser le théorème de Rolle.
Déplacer la droite horizontale rouge en l'attrapant avec la souris par le point rouge situé sur l'axe des ordonnées.
Le théorème s'applique aux intervalles [a,b] et [b,c].
Constater qu'à chaque fois il y a (au moins) une annulation de la dérivée à l'intérieur de chaque intervalle.