Cas général

Il résulte des résultats de la page précédente sur les dérivées des suites que:
Si I est un intervalle de ℝ et si (un) est une suite de fonctions définies et dérivables sur I possédant les propriétés suivantes: Alors:
Ce qui implique donc que:
Si I est un intervalle tel que la série de terme général (un') converge uniformément sur I, et s'il existe un point x0 de I tel que la série de terme général un(x0) converge alors la série de fonctions de terme général (un) converge uniformément sur I, sa somme s est dérivable sur I et s'=t où t est la somme de la série (un').
Et encore ce dernier corollaire:
Si I est un intervalle tel que la série de terme général (un') converge normalement sur I, et s'il existe un point x0 de I tel que la série de terme général un(x0) converge alors la série de fonctions de terme général (un) converge uniformément sur I, sa somme s est dérivable sur I et s'=t où t est la somme de la série (un').

Cas des séries entières

Constatons d'abord que:
La série dérivée formelle de la série entière de terme général un(x)=anxn est exactement la série de terme général un'(x).
Et puisqu'une série entière et sa dérivée ont même rayon de convergence.
Si R est le rayon de convergence de la série entière de terme général un(x)=anxn alors pour tout r<R la somme de la série de terme général un est dérivable sur [-r,+r] et sa dérivée est la somme de la série dérivée.
Autrement dit, une série entière peut se dériver 'terme à terme', ce qui n'est pas le cas des séries de fonctions en général, comme on peut le voir avec la série trigonométrique de terme général sin(nx) qui converge en 0 et dont la série dérivée ne converge pas en ce point.