Quelques exemples

Voici une suite de fonctions (fn) définies sur ℝ par: fn(x)=(1/n)sin(nx) pour n≥1 (graphes verts).
On voit également la suite des dérivées fn' de fn (graphes bleus).
Au début n=1. Appuyer sur le bouton 'n+' pour augmenter la valeur de n.
Appuyer sur le bouton 'n-' pour diminuer la valeur de n.

On remarque que bien qu'il s'agisse d'une suite de fonctions continues convergeant uniformément vers la fonction continue nulle, la suite des dérivées fn'(x)=cos(nx) ne converge en aucun point.
Considérons inversement la suite des fonctions constantes fn(x)=n. Cette suite ne converge ni simplement ni uniformément.
Considérons maintenant la suite des dérivées de cette suite. On a fn'=0, les dérivées sont donc toutes nulles, elles forment une suite qui converge uniformément vers la fonction nulle.
Ainsi nous voyons qu'a priori, il n'existe aucun lien évident entre la convergence d'une suite de fonctions dérivables et la convergence de la suite des dérivées.
Nous allons voir maintenant dans quelles circonstances nous pouvons établir une relation.

Théorème fondamental

Soit (fn) une suite de fonctions numériques définies sur un intervalle I. On suppose que: Dans ces conditions:

Supposons pour commencer que I est un intervalle ouvert ]a,b[.
Soit r tel que (gn) soit uniformément convergente sur [c-r,c+r] ⊆ I.
D'après l'inégalité des accroissement finis, on a pour tout d et tout x ∈ [c-r,c+r] |fn(x)-fm(x)-(fn(d)-fm(d))|≤rSupz∈]c-r,c+r[|gn(z)-gm(z)|
Ce qui fait qu'en utilisant le critère de Cauchy de convergence uniforme, si la suite (fn) est convergente en un seul point d de [c-r,c+r] elle est uniformément convergente sur [c-r,c+r].
Soit maintenant C le sous-ensemble de I=]a,b[ tel que fn(x) converge pour tout x de C.
C n'est pas vide puisque x0 ∈C, donc C admet une borne inférieure m et une borne supérieure M.
Il s'agit de montrer que m=a et M=b.
Supposons que M soit <b alors ce qui est vrai pour tout c s'applique à M. Il existe donc un intervalle de la forme [M-r,M+r] tel que fn'=gn converge uniformément sur [M-r,M+r]. Mais d'après la définition d'une borne supérieure, il existe des points de C aussi près de M qu'on veut. Il existe donc des points d de [M-r,M+r] où la suite fn(d) converge. La remarque qui précède contredit alors la définition de M. On démontre de la même façon par l'absurde que m=a.
Supposons maintenant que I soit fermé en b, c'est à dire I=]a,b] ou I=[a,b]
La dérivabilité des fn en b signifie alors une dérivabilité à gauche.
On rasnne de la même façon en considérant des intervalles [b-r,b] où la convergence des gn est uniforme par hypothèse. Le théorème des accroissements finis s'applique encore dans ce cas.
Evidemment ce résultat a pour conséquence, ce corollaire:
Si (fn) est une suite de fonctions définies sur [a,b], telle que: Alors la suite (fn) converge uniformément sur [a,b] vers une fonction dérivable f et f'=g.
Notons que l'existence de x0 est essentielle comme le montre le contre-exemple formé des fonctions constantes fn=n