Résultat fondamental

Soit f une fonction définie et continue sur [a,b]. Si f est dérivable sur ]a,b[ et si f'(x)>0 ∀x ∈ ]a,b[, alors f est strictement croissante sur [a,b].

Soient x1 et x2 tels que a<x1<x2<b. Supposons f(x2)<f(x1), alors, en vertu de ce résultat, il existe au voisinage de x1 un point x3 vérifiant x1<x3<x2, tel que f(x3)>f(x1). On a donc f(x3)>f(x1)>f(x2). f est continue sur [x3,x2] donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe x4∈ [x3,x2] tel que f(x1)=f(x4). Mais alors d'après le théorème de Rolle f'(x) s'annule sur ]x1,x4[, contrairement à l'hypothèse. f est donc strictement croissante sur ]a,b[.
Il résulte de ce qui précède que si a<x'<x on a toujours f(x)<f(x') donc quand x → a+ f(x) tend vers f(a) en décroissant. Il en résulte que f(a)=limx→a+f(x)<f(x').
f est donc strictement croissante sur [a,b].
Bien entendu on a le résultat symétrique:
Soit f une fonction définie et continue sur [a,b]. Si f est dérivable sur ]a,b[ et si f'(x)<0 ∀x ∈ ]a,b[, alors f est strictement décroissante sur [a,b].

Application

Il résulte du paragraphe sur les extrema locaux et du résultat qui précède que:
L'étude de la variation d'une fonction dérivable se ramène à l'étude du signe de sa dérivée.
Les extrema locaux correspondent aux points où la dérivée s'annule avec changement de signe.
Les annulations de la dérivée sans changement de signe correspondent à des 'inflexions'.

La fonction donnée en exemple présente: Ces considérations peuvent servir à de nombreux problèmes d'optimisation.
Recherche d'un volume maximal (voir cet exercice)
Recherche d'un trajet minimal (voir cet exercice)