Ce chapitre est dédié à l'étude générale des 'fonctions numériques'. il s'agit tout simplement d'applications dont la source est soit l'ensemble ℝ tout entier soit une partie de cet ensemble, et le but l'ensemble ℝ.
La plupart des particularités (fonctions monotones, fonctions bornées, etc...) sont liées au fait que ℝ est un ensemble ordonné.
On étend ensuite la notion de limite, vue précédemment pour les suites, aux fonctions numériques, tout d'abord par analogie lorsque la variable devient très grande positive (tend vers +∞) puis dans d'autres situations par symétrie (quand la variable tend vers -∞) ou par analogie quand la variable se rapproche de plus en plus d'un point soit appartenant au domaine de définition soit adhérent à ce domaine.
On retrouve alors des situations tout à fait analogues à celles que nous avons rencontrées pour les suites (limites finies, limites infinies, limites unilatérales, etc...).
Une complexité supplémentaire est introduite par le fait que l'ensemble ℝ est ainsi fait que tout point x0 le partage en deux intervalles adjacents ]-∞,x0[ et ]x0,+∞[ et que la variable x peut se rapprocher de x0 (tendre vers x0) en restant toujours du même côté de x0, ou au contraire en passant alternativement d'un côté ou de l'autre, ce qui engendre donc trois études séparées avec des résultats potentiellement différents. C'est ce que nous désignons par 'limites à gauche', à droite ...
Pour les mêmes raisons, quand la variable x tend vers (se rapproche de) un infini ou bien vers une valeur finie, son image f(x) peut tendre vers une valeur finie tout en restant supérieure (ou inférieure) à cette valeur, c'est ce phénomène que nous désignons, comme dans le cas des suites, par 'limites unilatérales'.
Curieusement l'étude des fonctions de plusieurs variables, définies sur des espaces comme le plan ou l'espace à trois dimensions où il n'y a ni droite ni gauche (pas de relation d'ordre) est plus simple du point de vue des limites seulement.
La lecture de ce chapitre nécessite une parfaite connaissance: