Définition générale

Voici une appliquette qui vous permet de visualiser deux graphes de fonctions f et g.
Le graphe de f est représenté en vert et celui de g en bleu.
En rouge on voit la verticale d'abscisse x qui coupe chaque graphe en un point I1 et I2 respectivement.
la quantité δ(x) qui s'affiche en rouge en haut est la mesure algébtique du segment [I1I2].
Vous pouvez déplacer cette verticale en la tirant par le point rouge avec la souris.
Cliquez sur 'Zoom-' pour augmenter l'échelle.
Cliquez sur 'Zoom-' pour revenir en arrière.
Remarquez que plus x grandit et plus les courbes représentant f et g tendent à se confondre.

C'est cette situation que l'on décrit par le mot 'asymptote'.
Soient f et g deux fonctions numériques définies dans des intervalles de la forme ]a,+∞[ on dit que f et g sont 'asymptotes' l'une de l'autre pour x tendant vers +∞ si leurs représentations graphiques tendent à se confondre quand x devient de plus en plus grand, formellement si: limx→+∞ f(x)-g(x)=0
Evidemment, de façon symétrique, on peut également avoir deux courbes asymptotes pour x→-∞.

Asymptote horizontale

L'asymptote 'horizontale' correspond à la situation précédente quand une des deux fonctions est constante.
voici un exemple d'asymptote horizontale.
Le fonctionnement de l'appliquette est identique à celui de la précédente.

Asymptote oblique

On dit qu'on a affaire à une asymptote 'oblique' quand une des deux fonctions est une fonction affine (du type x→ ax+b) non constante (a≠0).
Voici une appliquette qui vous permet de visualiser une asymptote oblique y=x.
Fonctionnement identique aux deux précédentes.

Asymptote verticale

L'asymptote dite verticale ne correspond pas exactement au formalisme développé précédemment dans la mesure où une droite verticale n'est jamais le graphe d'une fonction. Cependant on utilise cette terminologie quand la fonction tend vers un infini lorsque la variable tend vers une valeur finie.
Dans l'exemple ci-dessus, la courbe dont le graphe est tracé en vert (f(x)=x+1/x) possède une 'asymptote verticale' pour x→o+.

Direction asymptotique

Nous traitons seulement le cas x→+∞, le cas x→-∞ étant parfaitement symétrique.
Une condition nécessaire pour que la courbe représentative de la fonction y=f(x) admette une droite asymptote d'équation y=ax+b est que limx→+&infin f(x)/x=a existe.
Cela résulte du théorème sur la limite des quotients. Si limx→+∞(f(x)-ax-b)=0 alors a plus forte raison limx→+∞(f(x)-ax-b)/x=0. Comme limx→+∞b/x=0 il vient a=limx→+∞f(x)/x.
Les exemples qui suivent montrent que cette condition n'est pas suffisante.
On dit que la représentation graphique de la courbe d'équation y=f(x) admet une 'direction asymptotique' pour x→+∞ si la direction du vecteur OM(x) où M(x) est le point de coordonnées (x,y=f(x)) tend vers une limite.
Notons que cette direction est caractérisée par la pente de la droite (OM(x)).
Voici une appliquette qui vous permet de visualiser une direction asymptotique avec asymptote oblique.

Voici une appliquette qui vous permet de visualiser une direction asymptotique nulle SANS asymptote horizontale.

Voici une appliquette qui vous permet de visualiser un cas où il n'existe pas de direction asymptotique.
Cliquez sur 'Zoom-' pour diminuer l'échelle.

Détermination d'une asymptote oblique

Cette fois encore, nous traitons seulement le cas x→+∞, le cas x→-∞ étant parfaitement symétrique.
Nous nous plaçons dans l'hypothèse où une direction asymptotique a été décelée.
Nous supposons donc que limx→+∞f(x)/x=a existe.
Dans ces conditions la droite d'équation y=ax+b est asymptote à la courbe représentative y=f(x) si et seulement si limx→+∞(f(x)-ax) existe. Cette limite vaut alors b.
Cette propriété résulte simplement de la définition d'une asymptote oblique.

Position de la courbe par rapport à son asymptote

Notons que rien n'empêche une courbe de traverser son asymptote, et cela même une infinité de fois. Voici une appliquette qui vous permet de visualiser un tel cas.
Cliquez sur 'Zoom-' pour diminuer l'échelle.
Vous pouvez déplacer la verticale en l'attrapant avec la souris par le point rouge.

Quand l'asymptote oblique ou horizontale existe d'équation y=ax+b, les points d'intersection de la courbe avec son asymptote ont des abscisses solutions de l'équation f(x)=ax+b
Quand l'asymptote oblique ou horizontale existe d'équation y=ax+b, les points de la courbe situés au dessus de l'asymptote ont des abscisses solutions de l'inéquation f(x)>ax+b
Quand l'asymptote oblique ou horizontale existe d'équation y=ax+b, les points de la courbe situés en dessous de l'asymptote ont des abscisses solutions de l'inéquation f(x)<ax+b
Toutes ces propriétés résultent de la définition d'une asymptote oblique (ou horizontale).
Etudier la position de la courbe par rapport à son asymptote reviendra donc, comme toujours en analyse, à résoudre des équations et des inéquations (ce qui n'est pas toujours simple).

Branches paraboliques

Lorsque qu'on a limx→+∞f(x)=+&infin et qu'on détecte une direction asymptotique de pente a sans trouver d'asymptote, on dit parfois que la représentation graphique de f présente une 'branche parabolique' dans la direction de la droite y=ax.
Cette définition ne signifie nullement que la courbe possède une parabole pour asymptote, c'est tout simplement parce qu'historiquement la parabole d'équation y=x2 est un des tout premier exemple de cette situation. cette courbe possède une direction asymptotique verticale sans pour autant posséder d'asymptote. En somme, détecter une 'branche parabolique', c'est dire qu'on ne peut faire mieux, c'est un constat d'échec du point de vue de la recherche de droites asymptotes.