Composition

Dans la page précédente nous avons considéré des lois internes (somme, produit) sur des ensembles de fonctions numériques ayant toutes le même ensemble de définition.
Nous considérons maintenant un couple de fonctions ((f,D),(g,D')) vérifiant la propriété suivante:
f(D)⊆D'
de sorte que pour tout x de D f(x)∈D' et g(f(x)) existe.
Cela revient à dire que le but de f est inclus dans la source de g. (Revoir ces notions).
On peut dans ce cas définir la composée gof de f et g, soit gof.
gof est donc définie sur D par:
gof(x)=g(f(x)) ∀x∈D.
Ainsi si D=D'=ℝ et si:
f:x → x2+1
g:x → sin(x+3)
On a:
gof(x)=sin(x2+4)
fog(x)=sin(x+3)2+1
On voit donc qu'en général: gof≠fog.
D'ailleurs, très souvent gof est défini alors que fog ne l'est pas ou réciproquement.
Voici une appliquette qui vous permet de visualiser la composée de deux fonctions f et g.
Vous pouvez chosir les fonctions f et g entre 3 options.
La fonction f est représentée par une courbe verte.
La fonction g a une représentation raphique tracée en bleue.
La composée gof apparaît en rouge.
f(x)=xsin(x) f(x)=x2/10 f(x)=3x+1
g(x)=cos(x) g(x)=x2/10+1 g(x)=2x

Les cas particulièrement simples mais importants sont les cas où l'une des deux fonctions est une translation où une symétrie. Voir par exemple cet exercice.

Réciproque

On considère maintenant la situation où f:D → ℝ est injective.
Dans ce cas si on pose D'=f(D) f induit une bijection de D sur D'.
Il existe alors une fonction numérique g:D' → ℝ symétrique de f pour la composition, c'est à dire la bijection réciproque de f qu'on note généralement f-1.
Par définition f-1 vérifie:
f-1(f(x))=x ∀ x ∈ D
f(f-1(x))=x ∀ x ∈ D'
Voici une appliquette qui vous permet de visualiser la réciproque d'une fonction numérique.
Le graphe de la fonction f est tracé en vert.
La réciproque de f g=f-1 apparaît en rouge.
On constate que les deux graphes sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x, diagonale tracée en bleue.
f(x)=2x+2 f(x)=x3+1 f(x)=tan(x/7)