Domaine de définition

Une 'fonction numérique' f est avant tout une application.
Qui dit application dit triplet:
Cette définition sous-entend que pour tout x∈Df il existe un unique réel y=f(x) appelé image de x par f.
y=f(x) ⇔ (x,y)∈Gf⊆ℝ×ℝ où Gf est le graphe de f.
Donc en théorie toute fonction numérique f devrait être définie (donnée) par son graphe. De fait, nous allons voir qu'en pratique il n'en est rien.
Dans la pratique Df est souvent un intervalle (fini ou infini) ou bien une réunion d'un nombre fini d'intervalles.

Fonctions définies par une formule

Très souvent une fonction numérique sera donnée (de façon non orthodoxe) par une expression littérale (formule), du genre: f(x)=2x/sin(x).
On pourra vous demander "Quel est le domaine de définition de f?", ce qui du point de vue purement logique est une absurdité.
La question correcte à poser est "Pour quelle valeur de la variable x l'expression f(x) est-elle calculable?".
Ce point étant établi, si Df désigne l'ensemble de ces valeurs, la formule y=f(x) définit bien une application fonction numérique ayant Df pour domaine de définition.
Ainsi, pour notre exemple, pour que le quotient soit défini il faut que sin(x)≠0 donc que x≠kπ pour k∈ℤ.
Voici un programme python qui dresse un tableau de valeurs pour une fonction mathématique usuelle donnée par une formule:

Fonctions définies par une étude de cas

L'exemple type de cette situation est la fonction 'valeur absolue'.
f(x)= { x si x≥0
-x sinon
Mais il en existe bien d'autres comme les fonctions dites 'affines par morceaux' assujetties à passer par un certain nombre de points et à être représentées par des fonctions affines entre deux valeurs consécutives du tableau:
Exemple:
On veut que f(0)=1 f(1)=3 f(2)=-2
Donc pour x ∈[0,1] on aura f(x)=ax+b avec:
b=1
a×1+b=3
d'où a=2
Et pour x ∈[0,1] on aura f(x)=ax+b avec:
a+b=3
2a+b=-2
d'où:
a=-5 et b=8
En définitive:
f(x)= { 2x+1 si x∈[0,1]
-5x+8 si x ∈[1,2]

Autres définitions possibles

La fonction 'partie entière' relève d'un autre type de définition.
E(x) est défini comme: "Le plus grand entier n∈ℤ tel que n≤x."
Nous voyons donc que bien que les formules soient le plus souvent employées pour définir des fonctions numériques, il existe bien d'autres méthodes pour les définir.

Représentations graphiques

Voici un premier programme python minimal utilisant le module graphique tkinter pour tracer la représentation graphique d'une fonction dans un repère orthonormé dont l'origine est au centre de la fenêtre. Il est utilisable en l'état, il suffit de changer les paramètres concernant la taille de la fenêtre, la taille du vecteur unitaire, les fonctions à représenter et la fonction principale.

Et voici le résultat de l'exécution:

Voici un autre programme utilisant le langage javascript et la librairie jsxgraph, ce fichier est nommé 'plotsin.js':

Voici ci-dessous le code html d'une page web appelant ce programme.

Et voici le résultat :

Il existe d'autres outils pour tracer des représentations graphiques, en particulier des outils bureautiques comme les tableurs (MS-Excel, Tableur OpenOffice, etc...)

Remarque importante:

Les exemples ci-dessus et les souvenirs qu'on peut avoir de l'enseignement secondaire, laissent à penser que la représentation graphique d'une fonction numérique correspond à l'idée que nous avons d'une courbe 'continue'. Ceci n'est pas vrai en toute généralité.
Considérons la fonction ainsi définie par cas:
f(x)= { 1 si x∈ℚ
0 si x ∉ℚ
Autrement dit cette fonction est la fonction caractéristique de l'ensemble ℚ.
Essayons d'imaginer ce qu'est la représentation graphique de cette fonction:
Elle se présente comme la réunion de Comme ℚ ainsi que son complémentaire sont tous deux denses dans ℝ, ces ensembles sont parsemés de trous infiniment proches les uns des autres. Bref on peut avoir une représentation mentale de cette représentation graphique, mais il est tout à fait impossible de la tracer ni avec un crayon ni avec un ordinateur.

Prolongements et restrictions

Tout ce que nous avons dit précédemment sur les restrictions et les prolongements (voir cette page), s'applique aussi aux fonctions numériques.
(G,Dg) étant une fonction numérique, on dit que (f,Df) est la restriction de g à Df si et seulement si:
Et de la même façon on dit que:
(g,Dg) est un prolongement de (f,Df) si (f,Df) est la restriction de (g,Dg) à Df.
Il est clair qu'à moins que Df=ℝ, il existe une infinité de prolongements de (f,Df). A moins que le contexte ne soit parfaitement évident, pour exprimer certaines propriétés on précisera toujours pour quel domaine la propriété (être monotone, bornée, etc.) est vraie.
Par ailleurs le cas où le graphe de f est un ensemble fini de points (résultats de mesure). On cherche souvent, parmi tous les prolongements de f, le 'meilleur candidat' du point de vue de certains critères. C'est ce qu'on appelle un problème d'interpolation.