L'ensemble ℝD

Dans toute cette page le symbole D désigne un sous-ensemble de ℝ. En pratique D pourra être: Mais en fait il n'y a aucune restriction sur D qui peut être n'importe quoi. Comme d'habitude nous notons ℝD l'ensemble des applications de D dans ℝ. Les éléments de ℝD sont donc des fonctions numériques ayant toutes D pour domaine de définition.

Opérations sur ℝD

Somme

Soient f et g deux éléments de ℝD. On définit la somme de f et g noté f+g comme étant la fonction numérique de domaine D vérifiant:
(f+g)(x)=f(x)+g(x) ∀x∈D.
Voici une appliquette qui vous permet de visualiser la somme de deux fonctions f et g.
Vous pouvez choisir f et g parmi trois possibilités.
Le graphe de f est tracé en vert, celui de g en bleu.
Le graphe de la somme f+g est tracé en rouge.
f(x)=xsin(x) f(x)=x2/10 f(x)=x
g(x)=cos(x) g(x)=x2/10+1 g(x)=2x

Les propriétés suivantes se vérifient instantanément:
Il résulte de tout cela que (ℝD,+) est muni d'une structure de groupe abélien additif.

Différence

La 'différence de f et de g' (ou encore de f avec g), notée f-g, est définie comme la somme de f avec l'opposée de g. Donc:
(f-g)(x)=f(x)-g(x) ∀x∈D

Produit par un scalaire

Soit f un élément de ℝD et λ un nombre réel quelconque. On définit la fonction λf comme étant l'élément de ℝD vérifiant:
(λf)(x)=λf(x) ∀x∈D.
Voici une appliquette qui vous permet de visualiser le produit d'une fonction f par un scalaire λ.
Choisissez la fonction avec les boutons radio.
Utiliser lle curseur pour faire varier le scalaire λ entre -2 et +2.
Le graphe de f est en vert, le graphe de λf est en rouge.
f(x)=xsin(x) f(x)=x2/10 f(x)=x
Fixer λ avec le curseur

On voit que le graphe de λf se déduit du graphe de f par une affinité d'axe x'Ox et de rapport λ.
Les propriétés suivantes se vérifient immédiatement:

Produit

Soient f et g deux éléments de ℝD. On définit le produit de f et g noté f.g comme étant la fonction numérique de domaine D vérifiant:
(f.g)(x)=f(x).g(x) ∀x∈D.
Voici une appliquette qui vous permet de visualiser le produit de deux fonctions.
Vous pouvez choisir f et g parmi trois possibilités.
Le graphe de f est tracé en vert, celui de g en bleu.
Le graphe du produit f.g est tracé en rouge.
f(x)=xsin(x) f(x)=x2/10 f(x)=x
g(x)=cos(x) g(x)=x2/10+1 g(x)=2x

Les propriétés suivantes se vérifient instantanément: NB: Le produit par un scalaire apparaît donc comme un cas particulier du produit des fonctions quand la première est une fonction constante (Si f(x)=λ ∀x∈D λg=f×g).

Inverse

L'inverse d'un élément est son symétrique pour la multiplication. Notons qu'ici ℝD n'est pas un groupe multiplicatif.
Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction numérique f définie sur un domaine D possède une inverse dans ℝD est que:
f(x)≠0 ∀x∈D
Dans ce cas, et dans ce cas seulement:
L'inverse de f,notée 1/f, est définie comme la fonction de ℝD caractérisée par:
(1/f)(x)=1/(f(x)) ∀x∈D
Attention!
En dérogation avec les usages pour les notations courantes, et dans le cas où f est une bijection de D sur D, pour ne pas confondre l'inverse et la réciproque nous noterons toujours l'inverse 1/f et jamais f-1.

Quotient

Le 'quotient de f par g', noté f/g, n'est défini que si g est inversible. C'est par définition le produit de f par l'inverse de g, donc:
(f/g)(x)=f(x)/g(x) ∀x∈D
Voici une appliquette qui vous permet de visualiser le quotient de deux fonctions.
Voici une appliquette qui vous permet de visualiser le produit de deux fonctions.
Vous pouvez choisir f et g parmi trois possibilités.
Le graphe de f est tracé en vert, celui de g en bleu.
Le quotient apparaît en rouge.
f(x)=xsin(x) f(x)=x2/10 f(x)=x
g(x)=cos(x)+2 g(x)=x2/10+1 g(x)=2|x|+1

Structure d'algèbre

Il apparaît que:
D avec la loi externe (λ,f) →λf et l'addition (f,g) →f+g est muni d'une structure d'espace vectoriel réel.
Par ailleurs, les propriétés du produit font que: (ℝD,+,.,×) est muni d'une structure d'algèbre sur ℝ. Nous avons déjà rencontré cette structure ici.
En outre ℝD n'est de dimension finie que si D est lui-même un ensemble fini.
En effet si D={x1, ..., xn} ℝD s'identifie à ℝn. Mais si D contient un ensemble infini {xi} i∈I, pour toute partie finie J de I les fonctions fi avec i∈J sont linéairement indépendantes. Ce qui implique que ℝD contient des systèmes libres ayant un nombre fini n d'éléments quel que soit l'entier n.