Etude d'un cas

Considérons la fonction numérique de domaine ℝdéfine par:
f(x)=2sin(πx/2)
Cette fonction possède les propriétés suivantes:
Supposons connu le graphe de la fonction dans l'intervalle [0,1] (morceau de courbe en vert).
Alors par imparité il est connu dans l'intervalle [-1,0] (morceau de courbe en bleu).
Du fait que f admet 2 pour antipériode il est connu sur [1,3] (morceau de courbe en rouge).
Le graphe est donc connu sur l'intervalle [-1,3] qui est un intervalle de longueur période.
Il est donc connu partout par périodicité.
L'intervalle [0,1] correspond ici à ce que nous appelerons un 'intervalle d'étude' pour la fonction, c'est à dire un ensemble minimal, tel que si la fonction est connue sur cet intervalle, compte tenu de ses propriétés elle est connue partout.

Application à un algorithme de calcul

Aujourd'hui l'usage des calculatrices et des ordinateurs personnels est très répandu. Le calcul des valeurs de f(x) pour des fonctions complexes (transcendantes) se fait en rentrant la valeur de la variable et en appuyant sur le bouton correspondant pour une calculatrice ou en invoquant la fonction de la bibliothèque sur un tableur.
Il n'en a pas toujours été ainsi. On utilisait dans un passé pas trop lointain des outils tels que les tables de logaritmes (Bouvard et Ratinet pour ceux à qui cela dit encore quelque-chose) ou bien la règle à calcul, que tout ingénieur se devait d'arborer fièrement sur son bureau comme signe distinctif de son statut.
Ces temps sont (heureusement) révolus, mais nous allons voir que les ordinateurs ne résolvent pas tout. Des mesures empiriques issues d'un dispositif expérimental, par exemple dans un labo de physique, donnent un tableau de valeurs, mais l'expression analytique de la fonction peut être soit totalement inconnue soit fort complexe. On sait par exemple que la fonction que l'on teste est périodique, et possède quelques autres propriétés telles qu'il est possible de calculer l'image de tout élément à partir de l'image de l'intervalle d'étude. L'idée est de calculer d'abord f(x) dans l'intervalle d'étude par un interpolation linéaire puis de calculer f(x) pour x quelconque en utilisant des transformations géométriques.
Nous allons simuler ce processus avec une fonction connue (la fonction sinus) pour que tout le monde comprenne bien d'une part et pour qu'on puisse vérifier la qualité des approximations trouvées d'autre part.
Nous partons donc de 21 valeurs de la variable réparties uniformément (en progression arithmétique) sur l'intervalle [0,π/2]