La fonction 'partie entière'

La présente fonction nous servira maintenant et par la suite pour beaucoup d'exemples et de contre-exemples.
E(x) qui se lit 'partie entière de x' est définie pour tout réel x par:
E(x)= le plus grand des entiers relatifs k vérifiant k≤x.
Donc si x est entier x=k alors E(x)=k.
En outre E(x)=k ∀x∈[k,k+1[
Voici une appliquette qui vous permet de voir ce qui se passe pour la fonction f(x)=E(x) quand x→0.
Cliquez sur 'Zoom+'/'Zoom-' pour changer d'échelle.

Observez attentivement la forme du graphe, particulièrement au voisinage d'un entier k.
Si ε désigne un réel 0<ε<1
Pour tout x dans [k,k+ε[ on a E(x)=k
Pour tout x dans [k-3,k[ on a E(x)=k-1
Nous avons donc un 'saut' brutal sur toutes les valeurs entières.

L'hyperbole

Voici un autre exemple classique:
La représentation graphique de la fonction f(x)=1/x définie partout sauf en 0.
Cliquez sur 'Zoom+'/'Zoom-', conjointement avec '+' et '-' du menu de navigation pour changer d'échelle.

Observez attentivement la forme du graphe, particulièrement au voisinage de l'origine.
Comme dans le cas précédent il y a un saut, mais plus brutal encore puisqu'on passe d'un infini négatif à un infini négatif, selon que x se rapproche de 0 à gauche ou à droite.

Définitions

Il est maintenant temps de passer à la formalisation des situations rencontrées dans les deux exemples ci-dessus.

Limites à gauche

x0 désigne un point adhérent au domaine de f, mais on suppose en plus que:
∀ε>0 ∃x∈D tel que x∈]a-ε,a[
Comme dans le cas précédent f peut être définie en x0 ou ne pas être définie en x0.
En gros cela signifie que f est définie 'immédiatement à gauche' de x0.
Dans ces conditions:
Limites finies
Si f est définie en x0, on écrit:
limx→x0- f(x)=a
ou encore:
lim f(x)=a
x→x0
x≤x0
Pour exprimer que:
∀ε>0 ∃η>0 tel que x∈]x0-η,x0] ⇒ |f(x)-a|<ε
Et on dit que f(x) tend vers a quand x 'tend vers x0 à gauche'.
De la même façon si f n'est pas définie en x0 ou si on néglige sa valeur en ce point:
On écrit:
lim f(x)=a
x→x0
x<x0
Pour exprimer que:
∀ε>0 ∃η>0 tel que x∈]x0-η,x0[ ⇒ |f(x)-a|<ε
Et on dit que f(x) tend vers a quand x 'tend vers x0 à gauche strictement'.
Limites infinies
On suppose cette fois que f n'est pas définie en x0.
On écrit:
lim f(x)=+∞
x→x0
x<x0
Pour exprimer que:
∀M∈ℝ ∃η>0 tel que x∈]x0-η,x0[ ⇒ f(x)≥M
Et on dit que f(x) tend vers +∞ quand x 'tend vers x0 à gauche'.
On écrit:
lim f(x)=-∞
x→x0
x<x0
Pour exprimer que:
∀m∈ℝ ∃η>0 tel que x∈]x0-η,x0[ ⇒ f(x)≤m
Et on dit que f(x) tend vers -∞ quand x 'tend vers x0 à gauche'.

Limites à droite

x0 désigne un point adhérent au domaine de f, mais on suppose en plus que:
∀ε>0 ∃x∈D tel que x∈]a,a+ε[
Comme dans le cas précédent f peut être définie en x0 ou ne pas être définie en x0.
En gros cela signifie que f est définie 'immédiatement à droite' de x0.
Dans ces conditions:
Limites finies
Si f est définie en x0, on écrit:
limx→x0+ f(x)=a
ou encore:
lim f(x)=a
x→x0
x≥x0
Pour exprimer que:
∀ε>0 ∃η>0 tel que x∈[x0,x0+η[ ⇒ |f(x)-a|<ε
Et on dit que f(x) tend vers a quand x 'tend vers x0 à droite'.
De la même façon si f n'est pas définie en x0 ou si on néglige sa valeur en ce point:
On écrit:
lim f(x)=a
x→x0
x>x0
Pour exprimer que:
∀ε>0 ∃η>0 tel que x∈]x0,x0+η[ ⇒ |f(x)-a|<ε
Et on dit que f(x) tend vers a quand x 'tend vers x0 à droite strictement'.
Limites infinies
On suppose cette fois que f n'est pas définie en x0.
On écrit:
lim f(x)=+∞
x→x0
x>x0
Pour exprimer que:
∀M∈ℝ ∃η>0 tel que x∈]x0,x0+η[ ⇒ f(x)≥M
Et on dit que f(x) tend vers +∞ quand x 'tend vers x0 à droite'.
On écrit:
lim f(x)=-∞
x→x0
x>x0
Pour exprimer que:
∀m∈ℝ ∃η>0 tel que x∈]x0,x0+η[ ⇒ f(x)≤m
Et on dit que f(x) tend vers -∞ quand x 'tend vers x0 à droite'.

Exemples

Avec nos définitions et nos exemples d'introduction, nous pouvons écrire:
Pour tout entier relatif k
limx→k+E(x)=k
limx→k- x≠k E(x)=k-1
Mais également
limx→0+ x>0 1/x=+∞
limx→0- x<0 1/x=-∞

Condition nécessaire d'existence d'une limite

Une condition nécessaire pour l'existence de limx→x0 f(x) est que:
Les deux limites limx→x0+ f(x) et limx→x0- f(x) existent et soient égales.
Cela se vérifie immédiatement compte tenu des définitions.
Ce résultat s'utlise le plus souvent 'a contrario'. On démontre que limx→x0 f(x) n'existe pas en montrant que les limites à droite et à gauche sont différentes ou bien que l'une des deux (ou les deux) n'existe(nt) pas.
D'une façon générale le comportement d'une fonction à droite de x0 et son comportement à gauche sont totalement indépendants.
Ainsi à gauche on peut avoir un des comportements suivants: Et à droite les mêmes possibilités avec toutes les (16) combinaisons possibles.
En outre si les limites à droite et gauche sont finies, elles ne sont pas forcément les mêmes.
Il en va de même pour les limites infinies.

Cas des fonctions monotones

Toute fonction monotone possède en tout point où elle est définie une limite à gauche et une limite à droite, de plus, limx→a-,x≠af(x)≤f(a) et limx→a+,x≠af(x)≥f(a).
Ce résultat est parfaitement évident compte tenu des définitions, car limx→a-,x≠af(x)=Supx<a f(x)≤f(a).