Limite finie d'une fonction quand la variable tend vers +∞

Nous allons pour la première fois voir la notion de limite d'une fonction numérique.
Cette notion n'est pas complètement nouvelle, nous avons déjà vu la notion de limite pour les suites (et en conséquence les séries) de nombres réels.
Nous commençons tout exprès par le cas où la variable tend vers +∞ car il y a un parallèle parfait avec ce que nous avons vu dans le cas des suites: On suppose dans tout ce qui suit que le domaine de définition de D contient un intervalle de la forme [a,+∞[ faute de quoi nos énoncés n'auraient pas de sens.
On dit que la fonction f 'tend vers la limite a' lorsque x tend vers +∞ si ∀ ε>0 donné il existe un réel X tel que x>X ⇒ |f(x)-a|<ε.
On écrit cela de façon raccourcie:
limx→+∞f(x)=a
Toutes les remarques que nous avons faites dans le cas des suites s'appliquent encore à cette situation. Notamment la signification intuitive de cette affirmation qui peut s'exprimer ainsi:
"f(x) est aussi près de a qu'on veut pourvu que x soit suffisamment grand". Mais aussi le fait que le réel X dépend du réel ε et devrait être noté en toute rigueur X(ε). S'appliquent également les remarques faites sur la nature des inégalités (des inégalités larges peuvent remplacer les inégalités strictes, à l'exception de ε>0).
Voici l'exemple d'une fonction qui tend vers 2 lorsque x→+∞.
Faire varier ε au moyen du curseur entre 0.5 et 0.07.
Vous voyez s'afficher la variation de X correspondante telle que x>X ⇒ |f(x)-2|<ε
Remarquez que dans ce cas la courbe passe alternativement au dessus et en dessous de la limite.
Choix de ε : Valeur de ε : Valeur de X(ε) :

Limite infinie d'une fonction quand la variable tend vers +∞

Nous procéderons encore par analogie avec les suites.
On dit que f tend vers +∞ (ou bien diverge vers +∞) quand x →+∞ si ∀ M∈ℝ, ∃ X∈ℝ tel que x>X ⇒ f(x)>M.
Voici une appliquette qui vous montre une fonction qui tend vers +∞ quand x tend vers +∞.
Au moyen du curseur vous fixez une valeur entière M entre5 et 30.
La valeur de X telle que f(x)>M est aussitôt calculée.
Vous voyez apparaître en rouge la droite d'équation y=M et en bleu la droite d'équation x=X.
Vous devez donc vérifier qu' à droite de la verticale bleue tous les points du graphe vert sont au dessus de l'horizontale rouge.
Vous noterez sur cet exemple qu'une fonction n'a pas besoin d'être croissante pour tendre vers +∞.
Fixer M avec le curseur
On dit que f tend vers -∞ (ou bien diverge vers -∞) si ∀ m∈ℝ, ∃ X∈ℝ tel que x>X ⇒ f(x)<m.

Oscillations bornées

Voici un autre comportement possible pour x→+∞: Appuyer sur le bouton '+10' pour augmenter les valeurs de x.

Oscillations non bornées

Voici un autre exemple de comportement pour x→+∞: . Appuyer sur le bouton '+10' pour augmenter les valeurs de x.

Cas des fonctions monotones

Nous avons bien évidemment le même résultat que pour les suites:
Pour une fonction f croissante, il n'existe que 2 possibilités:
Soit f n'est pas majorée auquel cas elle tend vers +∞.
Soit f est majorée auquel cas elle converge vers la limite Sup(f(D)), la borne supérieure de l'image du domaine de f. Cette borne existe nous l'avons vu.
Visualisons maintenant le cas d'une fonction croissante et bornée.
L'appliquette qui suit fonctionne comme la précédente:

Et on a, bien sûr, l'énoncé analogue pour les fonctions décroissantes:
Pour une fonction f décroissante, il n'existe que 2 possibilités:
Soit f n'est pas minorée auquel cas elle tend vers -∞.
Soit f est minorée auquel cas elle converge vers la limite Inf(f(D)), la borne inférieure de l'image du domaine de f.

Cas où la variable tend vers -∞

Nous pouvons maintenant par symétrie décrire ce qui se passe quand n → - ∞.
On dit que la fonction f 'tend vers la limite a' lorsque x tend vers -∞ si ∀ ε>0 donné il existe un réel X tel que x<X ⇒ |f(x)-a|<ε.
On écrit cela de façon raccourcie:
limx→-∞f(x)=a
On dit que f tend vers +∞ (ou bien diverge vers +∞) quand x →-∞ si ∀ M∈ℝ, ∃ X∈ℝ tel que x<X ⇒ f(x)>M.
On dit que f tend vers -∞ (ou bien diverge vers -∞) quand x →-∞ si ∀ m∈ℝ, ∃ X∈ℝ tel que x<X ⇒ f(x)<m.