Revoir la définition de la composée de deux fonctions.
On se place dans le cas où f et g sont deux fonctions numériques que l'on peut composer, c'est à dire que si f a pour domaine D et si g a pour domaine D', on suppose que f(D)⊆D'.
On a vu que pour donner un sens à des expressions telles que: Il n'était pas nécessaire que f soit définie en x0. Il suffisait que x0 soit dans l'adhérence de D.
Supposons donc qu'une de ces limites existe et soit une valeur finie a.
Alors g(a) n'existe peut-être pas, mais a est peut être néammoins un point adhérent à D', de sorte que: Sont des expressions qui peuvent avoir un sens même si a n'est pas dans D'.
Nous allons donc nous concentrer sur des cas où:
Une limite pour f existe finie ou infinie lorsque la variable tend vers n'importe quoi (notation x→...).
Cette limite notée 'a' (pouvant donc être +/-∞ appartient à l'adhérence de D' dans la droite réelle achevée
Nous avons alors l'énoncé suivant:
Supposons que gof soit définie, que limx→...f(x)=a existe (cette limite pouvant être un infini, ou bien un réel, la convergence pouvant être unilatérale ou non).
Supposons encore que limy→a g(y) existe et soit b ( encore une fois b peut être un infini ou un réel ou un symbole 2+,3-, etc...).
Dans ces conditions limx→... gof(x) existe et vaut b.
Etant donné le très grand nombre de possibilités d'une part et les similitudes existant entre toutes ces situations d'autres part nous n'allons pas prouver ce résultat dans tous les cas de figure possibles. Traitons par exemple le cas où x→x0 (x0 nombre réel fini) et a et b sont des réels finis.
On se donne un réel ε>0.
Il existe η(ε)>0 tel que |y-a|<η ⇒ |g(y)-b|<ε
Il existe μ(η(ε)) tel que:
|x-x0|<μ ⇒ |f(x)-a|<η(ε)
Alors si |x-x0|<μ on a bien |g(f(x))-b|<ε CQFD.