Cette page fait suite à celle consacrée au même sujet dans le chapitre des suites.
Nous allons étudier les mêmes situations sauf qu'au lieu de se limiter au cas d'une variable entière tendant vers +∞ nous étudierons le cas d'une variable réelle dans les cas suivant: Nous allons voir que les résultats sont essentiellement les mêmes avec les mêmes indéterminations, aussi pour éviter la multiplication des énoncés équivalents nous utiliserons la notation x→ ... sachant que ... peut recouvrir n'importe lequel des cas suivants. Cependant lorsque nous étudierons une somme, un produit, un quotient, il sera toujours sous-entendu que le x→... désignera la même situation dans les deux cas, et que si x tend vers une valeur finie ce sera la même dans les deux cas.
nous conservons intégralement le plan d'étude retenu pour les suites.
Il est inutile de (re)donner les démonstrations qui sont les mêmes que pour les suites et qui ont déjà été données soit en cours soit sous forme d'exercices corrigés.
Pour ce qui concerne l'illustration des cas d'indétermination on peut reprendre les exemples des suites en prenant f(x) au lieu de f(n).
Bref, il n'y a aucune différence notoire avec ce qui a déjà été vu, et tout paraitra évident au lecteur ayant lu et assimilé le chapitre correspondant sur les suites.

Sommes

Revoir la définition de la somme de deux fonctions.
On cherche une relation entre limx→...f(x), limx→...g(x) et limx→...(f+g)(x).

Les deux fonctions tendent vers une limite finie

Dans ce cas la somme des deux tend vers la somme des limites.

Les deux fonctions tendent vers le même infini

Alors la somme tend aussi vers cet infini.

Une fonction (f) tend vers un infini l'autre (g) est bornée

Alors f+g tend vers le même infini que f.

Cas d'indétermination

Il y a un cas principal c'est le cas où f et g tendent vers des infinis distincts. dans ce cas on ne peut rien dire a priori pour la somme. Mais il existe évidemment des techniques pour lever l'indétermination, ce sont essentiellement les mêmes artifices que pour les suites qui sont utilisés.

Produits

Revoir la définition du produit de deux fonctions.
On cherche une relation entre limx→...f(x), limx→...g(x) et limx→...(f×g)(x).

Les deux fonctions tendent vers une limite finie

Dans ce cas le produit des deux tend vers le produit des limites.

Les deux fonctions tendent vers l'infini

Alors le produit tend vers un infini (règle des signes)

Une fonction tend vers 0 et l'autre est bornée

Dans ce cas le produit tend vers 0.

Une fonction tend vers une limite non nulle et l'autre vers l'infini

Dans ce cas le produit tend vers un infini (règle des signes).

Cas d'indétermination

L'indétermination majeure correspond au cas du produit d'une fonction qui tend vers zéro par une autre qui tend vers un infini. On peut la lever en utilisant des techniques déjà vues pour les suites ou bien d'autres empruntées au calcul différentiel.

Produits par un scalaire

Revoir la définition du produit d'une fonction par un scalaire.
On s'intéresse au cas du produit d'une fonction numérique f par un réel λ.
On cherche une relation entre limx→...f(x) et limx→...(λf)(x).

Le scalaire λ est nul

Dans ce cas λf tend vers 0.

Le scalaire est non nul

La fonction tend vers une limite finie
Alors λf tend vers une limite finie.
La fonction tend vers un infini
λf tend vers un infini (règle des signes).

Quotients

Revoir la définition du quotient de deux fonctions.
On cherche une relation entre limx→...f(x), limx→...g(x) et limx→...(f/g)(x).
On s'intéresse au quotient f/g de deux fonctions numériques f et g, là où il est défini (g(x)≠0).
Cependant cela à un sens de se poser la question de l'existence de la limite du quotient pour x tendant vers une valeur pour laquelle g(x)=0.

Les deux fonctions tendent vers des limites finies, la limite de la fonction g étant non nulle

Alors le quotient tend vers une limite finie égale au quotient des limites.

La fonction f est bornée et g tend vers un infini

Alors f/g tend vers 0, mais il n'est pas toujours possible de préciser, sans précisions supplémentaires s'il s'agit de 0+ ou 0-.

La fonction f tend vers une limite non nulle ou un infini et g tend vers 0 unilatéralement

Alors f/g tend vers un infini (règle des signes).

Cas d'indétermination

Quotient de deux infinis
On ne peut rien dire en général, l'indétermination peut se lever par des techniques calculatoires simples ou bien il peut être nécessaire d'utiliser des résultats avancés du calcul différentiel.
Quotient de deux limites nulles
Même remarque que précédemment.