Dans tout ce qui suit (f,D) désigne une fonction numérique de domaine D. x0 désigne un point adhérent à D. Nous avons déjà rencontré cette notion ici.
Conformément aux usages nous notons D l'adhérence de D.
Nous rappelons que x0∈D signifie que tout voisinage de x0 contient un point de D, où encore que ∀ε>0 il existe un x∈D tel que |x-x0|<ε.
Remarquons que D⊆D, en conséquence la fonction f peut être définie en x0 (cas x0∈D) ou bien ne pas être définie en x0 (cas x0D-D).
On peut encore voir les choses différemment, en disant que x0 est un point d'accumulation d'une suite de points de D.
En pratique, et c'est le cas le plus fréquent, quand f n'est pas définie en x0, x0 sera une borne d'un intervalle à l'intérieur duquel f est définie. Vous pouvez voir les choses ainsi pour une première approche.

Limite finie d'une fonction quand la variable tend vers un point adhérent

x0 étant comme il est dit plus haut:
Nous dirons que f tend vers la limite a quand x tend vers x0, si ∀ε>0 il existe η tel que: |x-x0|<η ⇒ |f(x)-a|<ε
Ce que nous écrirons:
limx→x0f(x)=a si f est définie en x0.
limx→x0 x≠x0f(x)=a si f est n'est pas définie en x0.
Naturellement cette définition est à rapprocher des définitions de limites que nous avons pour les suites, ainsi que des définitions de limites à l'infini des fonctions numériques.
En particulier toutes les remarques faites sur le choix de ε, la nature des inégalités, restent valables. Tout comme dans les cas précédents le nombre η dépend du nombre ε, mais aussi de x0, et devrait donc en toute rigueur, être noté η(ε,x0). Voici une appliquette qui vous permet de voir ce qui se passe pour la fonction f(x)=xsin(1/x) (non définie en 0) quand x→0.
Cliquez sur 'Zoom+' pour voir le détail au voisinage de l'origine.


L'écriture limx→x0 x≠x0f(x)=a peut avoir un sens même si f est définie en x0. Elle signifie simplement que l'on néglige totalement la valeur de f en x0.
Nous dirons que f tend vers la limite a quand x tend vers x0 par valeurs distinctes de x0, si ∀ε>0 il existe η tel que: |x-x0|<η et x≠x0 ⇒ |f(x)-a|<ε
Ce que nous écrirons:
limx→x0 x≠x0f(x)=a .

Limite infinie d'une fonction quand la variable tend vers un point adhérent

Nous dirons que f tend vers +∞ quand x tend vers x0, si ∀M∈ℝ il existe η tel que: |x-x0|<η ⇒ f(x)>M
Ce que nous écrirons:
limx→x0f(x)=+∞ si f est définie en x0.
limx→x0 x≠x0f(x)=+∞ si f est n'est pas définie en x0.
Voici une appliquette qui vous permet de voir ce qui se passe pour la fonction f(x)=1/x2 (non définie en 0) quand x→0.
Cliquez sur 'zoom+' et 'zoom-' conjointement avec l'option '-' du menu de navigation en bas et à droite du graphique.

On a la définition analogue pour une fonction tendant vers -∞ en un point adhérent:
Nous dirons que f tend vers +∞ quand x tend vers x0, si ∀m∈ℝ il existe η tel que: |x-x0|<η ⇒ f(x)<m
Ce que nous écrirons:
limx→x0f(x)=-∞ si f est définie en x0.
limx→x0 x≠x0f(x)=-∞ si f est n'est pas définie en x0.

Oscillations bornées

Voici un autre comportement possible pour une fonction au voisinage d'un point adhérent, correspondant à une fonction bornée.
Voici une appliquette qui vous permet de voir ce qui se passe pour la fonction f(x)=sin(1/x) (non définie en 0) quand x→0.
Cliquez sur 'Zoom+', conjointement avec le bouton '+' du menu de navigation pour voir le détail au voisinage de l'origine.

Oscillations non bornées

Voici encore un autre comportement possible pour une fonction au voisinage d'un point adhérent, correspondant à une fonction cette fois non bornée.
Voici une appliquette qui vous permet de voir ce qui se passe pour la fonction f(x)=(1/x)sin(1/x) (non définie en 0) quand x→0.
Cliquez sur 'Zoom+', conjointement avec le '+' du menu de navigation en bas à droite, pour voir le détail au voisinage de l'origine.

Café Python

Un module de calcul symbolique est parfaitement capable d'évaluer certaines limites.
Ici le module sympy calcule la limite de (sin(x)-x)/x3 et trouve le résultat -1/6