Limite par valeurs supérieures

Voici l'exemple d'une fonction qui tend vers 2 lorsque x→+∞.
Faire varier ε au moyen du curseur entre 0.5 et 0.07.
Vous voyez s'afficher la variation de X correspondante telle que x>X ⇒ f(x)≥2 et f(x)-2<ε
Remarquez que dans ce cas la courbe est toujours située au dessus de la limite.
Choix de ε : Valeur de ε : Valeur de X(ε) :
On dit que f tend vers la limite a 'par valeurs supérieures' pour x tendant vers +∞ quand:
limx→+∞f(x)=a et f(x)≥a pour x suffisamment grand. C'est à dire que pour tout ε>0 donné à l'avance, ∃ X∈ ℝ tel que x>X ⇒ f(x)∈[a,a+ε[.
On écrit cela de manière synthétique:
limx→+∞f(x)=a+
Naturellement cette définition s'applique 'mutatis mutandis' au cas où la variable tend vers -∞.
Mais elle s'applique aussi au cas où la variable tend vers une valeur finie:
On dit que f tend vers la limite a 'par valeurs supérieures' pour x tendant vers x0 quand:
limx→x0f(x)=a et f(x)≥a pour x suffisamment près de x0. C'est à dire que pour tout ε>0 donné à l'avance, ∃ η>0 tel que |x-x0|<η ⇒ f(x)∈[a,a+ε[.
On écrit cela de manière synthétique:
limx→x0f(x)=a+
Cette convention peut également être combinée avec les notations concernant les limites à gauche et à droite.
Par exemple:
On dit que f tend vers la limite a 'par valeurs supérieures' pour x tendant vers x0 par valeurs inférieures quand:
limx→x0-f(x)=a et f(x)≥a pour x suffisamment près de x0 en étant <x0. C'est à dire que pour tout ε>0 donné à l'avance, ∃ η>0 tel que x∈]x0-η,x0] ⇒ f(x)∈[a,a+ε[.
On écrit cela de manière synthétique:
limx→x0-f(x)=a+

Limite par valeurs inférieures

Voici l'exemple d'une fonction qui tend vers 2 lorsque x→+∞.
Faire varier ε au moyen du curseur entre 0.5 et 0.07.
Vous voyez s'afficher la variation de X correspondante telle que x>X ⇒ f(x)≤2 et 2-f(x)<ε
Remarquez que dans ce cas la courbe est toujours située en dessous de la limite.
Choix de ε : Valeur de ε : Valeur de X(ε) :
On dit que f tend vers la limite a 'par valeurs inférieures' pour x tendant vers +∞ quand:
limx→+∞f(x)=a et f(x)≥a pour x suffisamment grand. C'est à dire que pour tout ε>0 donné à l'avance, ∃ X∈ ℝ tel que x>X ⇒ f(x)∈]a-ε,a].
On écrit cela de manière synthétique:
limx→+∞f(x)=a+
Comme dans le cas précdent cette définition s'applique, en changeant ce qui est à changer, au cas où la variable tend vers -∞.
Elle s'applique également au cas où la variable tend vers une valeur finie:
On dit que f tend vers la limite a 'par valeurs inférieures' pour x tendant vers x0 quand:
limx→x0f(x)=a et f(x)≤a pour x suffisamment près de x0. c'est à dire que pour tout ε>0 donné à l'avance, ∃ η>0 tel que |x-x0|<η ⇒ f(x)∈]a-ε,a].
On écrit cela de manière synthétique:
limx→x0f(x)=a-

Récapitulation

Nous laissons le lecteur envisager toutes les situations possibles:
variable x fonction y=f(x)
x→+∞ y→+∞
x→-∞
x→x0 y→-∞
x→x0+
x→x0- y→a
x→x0,x≠x0
x→x0+,x≠x0 y→a+
x→x0-,x≠x0 y→a-

Ce qui doit bien faire une quarantaine de cas.
A chaque cas correspond un énoncé du type:

.......... tel que ..........

Pour chaque cas nous avons une écriture symbolique synthétique:

lim f(x)
.....
=.....

Vous pourrez vous entrainer dans la section des exercices à rédiger: