Nous avons déjà vu la notion d'application 'compatible' avec une relation d'ordre.
Nous appliquons ici ces notions aux fonctions numériques.
La situation est tout à fait semblable aux suites.

Fonctions strictement monotones

Strictement croissantes

On dit que f est 'strictement croissante' sur D si et seulement si: ∀ (x0,x1) ∈ D×D x1>x0 ⇒ f(x1)>f(x0).
Illustration (l'allure est 'montante' quand on parcourt la courbe de gauche à droite):

Strictement décroissantes

On dit que f est 'strictement décroissante' sur D si et seulement si: ∀ (x0,x1) ∈ D×D x1>x0 ⇒ f(x1)<f(x0).
Illustration (l'allure est 'descendante' quand on parcourt la courbe de gauche à droite):
On dit que f est 'strictement monotone' sur D si et seulement si:
f est strictement croissante ou strictement décroissante sur D.

Propriété importante

Toute fonction strictement monotone sur son domaine est injective.
La preuve résulte du fait que ≥ est une relation d'ordre total sur ℝ

Fonctions monotones (au sens large)

Croissantes

On dit que f est 'croissante au sens large' sur D si et seulement si: ∀ (x0,x1) ∈ D×D x1≥x0 ⇒ f(x1)≥f(x0).
Illustration (il peut y avoir un ou plusieurs 'paliers'):

Décroissantes

On dit que f est 'décroissante au sens large' sur D si et seulement si: ∀ (x0,x1) ∈ D×D x1≥x0 ⇒ f(x1)≤f(x0).
Illustration (il peut y avoir un ou plusieurs 'paliers'):

Importance du domaine de définition

La mention du domaine de définition est particulièrement importante pour tous les problèmes de monotonie.
Dans l'exemple ci-dessous, la fonction est:

Taux de variation

Si x0 et x1 désigne des éléments distincts du domaine de définition D de f.
On appelle 'taux d'accroissement de f de x0 à x1' la quantité:
Δf(x0,x1)=
f(x1)-f(x0)

x1-x0
Si D est un intervalle I fini ou infini, les propriétés suivantes sont pratiquement évidentes:
Une condition nécessaire et suffisante pour que f soit strictement croissante sur I est que: ∀(x0,x1)∈I×I x0≠x1 Δf(x0,x1)>0
Une condition nécessaire et suffisante pour que f soit strictement décroissante sur I est que: ∀(x0,x1)∈I×I x0≠x1 Δf(x0,x1)<0
Une condition nécessaire et suffisante pour que f soit croissante sur I est que: ∀(x0,x1)∈I×I x0≠x1 Δf(x0,x1)≥0
Une condition nécessaire et suffisante pour que f soit décroissante sur I est que: ∀(x0,x1)∈I×I x0≠x1 Δf(x0,x1)≤0
Le taux de variation est une notion très importante. Il indique par son signe le sens de variation de la fonction, il indique par sa magnitude le rythme de cette variation.
En outre l'étude de cette quantité sera par la suite à la base de la notion de dérivée.
L'interprétation géométrique est la suivante:

On voit ici que le taux de variation de la fonction f(x)=-x²/4+4 entre les points x0=-2 et x1=4 est égal à -1.
D'une façon générale Δf(x0,x1) est la pente de la droite passant par les points (x0,f(x0)) et (x1,f(x1)).

Monotonie et opérations algébriques

Nous renvoyons le lecteur aux exercices de cette section.
Pour l'addition et la multiplication par un scalaire,
cet exercice.
Pour le produit, cet exercice.

Monotonie et composition

Nous renvoyons le lecteur à cet exercice.