Domaines symétriques

Soit D une partie de ℝ
On dit que D est 'symétrique' si ∀x∈D on a -x∈D.

Exemples:

Il est évident qu'en combinant les propriétés ci-dessus on peut former beaucoup de domaines symétriques. Tout ce qui suit concerne exclusivement des fonctions numériques dont le domaine de définition est un ensemble symétrique.

Fonctions paires

On dit qu'une fonction numérique (f,D) définie sur un domaine symétrique D est 'paire' si elle vérifie:
f(-x)=f(x) ∀x∈D

Exemples:

Voici la représentation graphique d'une fonction paire:

Les représentations graphiques des fonctions paires présentent une symétrie par rapport à l'axe 'vertical' y'Oy.

Fonctions impaires

On dit qu'une fonction numérique (f,D) définie sur un domaine symétrique D est 'impaire' si elle vérifie:
f(-x)=-f(x) ∀x∈D

Exemples:

Voici la représentation graphique d'une fonction impaire:

Les représentations graphiques des fonctions impaires présentent une symétrie centrale par rapport à l'origine.

Attention!

Il n'en va pas de même pour les fonctions que pour les nombres entiers. Ne pas croire qu'une fonction est soit paire soit impaire, même si son domaine est symétrique. x → (x-1)2 n'est ni paire ni impaire. Par ailleurs une fonction peut être paire et impaire à la fois, c'est le cas de la fonction nulle (et c'est le seul).
Cependant!
Toute fonction sur un domaine symétrique peut s'écrire comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.
Pour la démonstration voir cet exercice.

Parité des fonctions polynomiales

Il est évident que:
Tout polynôme ne comportant que des puissances paires de la variable est une fonction paire.
Tout polynôme ne comportant que des puissances impaires de la variable est une fonction impaires.
Les réciproques sont vraies:
Tout polynôme qui est une fonction paire ne comporte que des puissances paires de la variable.
En effet si P(x) est pair, soit Q(x) le polynôme obtenu en ne prenant que les puissances paires de P(x). Alors P(x)-Q(x) est pair, mais il est aussi impair puisqu'il ne comporte que des puissances impaires, donc c'est la fonction nulle.
Tout polynôme qui est une fonction impaire ne comporte que des puissances impaires de la variable.

Parité et opérations algébriques

Les résultats les plus courants sont rassemblés dans cet exercice.

Parité et composition

Voir par exemple cet exercice.

Parité et variation

Une fonction paire ne peut être strictement monotone sur son domaine symétrique D.
En effet prenons x0 et x1 positifs avec x1>x0 on a alors:
f(-x0)-f(-x1)=f(x0)-f(x1)
Donc les deux quantités ont même signe. cependant -x1<-x0