Définitions

On suppose dans toute cette page que D=ℝ tout entier. On considère donc des fonctions définies partout.
p désigne un réel >0.
On dit que 'f admet p pour période' si:
f(x+p)=f(x) ∀x∈ℝ

Exemples:

Il est évident que:
Si f admet p pour période alors f admet également 2p, 3p, ..kp, (k entier >0) pour périodes.
A la différence des fonctions constantes, pour certaines fonctions périodiques f, il existe un 'plus petit' nombre p>0 tel que f admet p pour période.
Dans ce cas ce nombre sera appelé 'la' période de la fonction.
Pour ceux à qui l'existence de ce plus petit élément parait une évidence, signalons que la fonction caractéristique de admet pour période tout nombre rationnel aussi petit soit-il. Elle n'en est pas pour autant constante. Nous verrons par la suite que si on impose à la fonction des conditions supplémentaires (continuité), la période est bien définie pour toute fonction périodique vérifiant ces conditions. Nous négligeons pour le moment les cas 'pathologiques' comme l'exemple ci-dessus.
Voici la représentation d'une fonction numérique de période 3:

On voit que:
Une fonction périodique de période p est connue partout dès qu'elle est connue sur un intervalle quelconque de longueur p.

Compatibilité avec les opérations algébriques

Cette notion offre un bon niveau de compatibilité avec la structure d'espace vectoriel de ℝ (voir cet exercice).
Pour ce qui est du produit et du quotient les choses sont un peu moins évidentes (voir cet exercice).

Périodicité et composition

La périodicité de f entraîne celle de gof, mais cette condition n'est pas nécessaire (voir cet exercice)

Relation avec la variation

Une fonction périodique ne peut être strictement monotone, parce qu'elle ne peut être injective.