Extremum local

Maximum

On dit que f atteint en x0 un 'maximum local' s'il existe un intervalle I de la forme ]x0-ε,x0+ε[ tel que f(x)≤f(x0) ∀x∈I.
En outre si on a f(x)<f(x0) ∀x∈I-{x0}, on dit qu'il s'agit d'un maximum local 'strict'.

Minimum

On dit que f atteint en x0 un 'minimum local' s'il existe un intervalle I de la forme ]x0-ε,x0+ε[ tel que f(x)≥f(x0) ∀x∈I.
En outre si on a f(x)>f(x0) ∀x∈I-{x0}, on dit qu'il s'agit d'un minimum local 'strict'.

Extremum global

Maximum

On dit que la fonction numérique (f,D) atteint en x0 un 'maximum global'(sur son domaine D) si f(x0)≥f(x) ∀x∈D.
Un maximum global correspond donc à un 'plus grand élément' de f(D).

Minimum

On dit que la fonction numérique (f,D) atteint en x0 un 'minimum global'(sur son domaine D) si f(x0)≤f(x) ∀x∈D.
Un minimum global correspond donc à un 'plus petit élément' de f(D).
Si f est majorée, alors f(D) possède une borne supérieure, mais il n'existe pas pour autant forcément un maximum global. On peut dire cela en disant que la borne n'est pas 'atteinte'. Voici un exemple classique: D=ℝ+, f(x)=-1/x. 0 est borne supérieure de f(D) mais il n'existe aucun réel positif x0 tel que f(x0)=0.

Voici maintenant une illustration de ces notions.

On peut voir sur cette courbe:

Tableau de variation

Voici la représentation graphique d'une fonction numérique:

Et voici le 'tableau de variation' représentant cette fonction.

| x | -∞ -1 0 +∞ |

f(x) -∞ -1 -∞ +∞ 0+

Il est clair que la vulgarisation des calculatrices graphiques, des tableurs et des ordinateurs personnels a faussé les règles du jeu. Auparavant, on établissait le tableau de variation préalablement au tracé (manuel) de la courbe.
L'établissement du tableau reste de nos jours encore, un passage obligatoire, un rite initiatique, pour la plupart des examens et concours.
Très (trop) souvent ce tableau est réalisé en utilisant des outils déjà évolués (dérivées) alors que la plupart du temps, une étude directe ou le calcul d'un taux de variation suffit amplement. Remarquons simplement que le symbole || (double barre) en dessous d'une valeur de la variable signifie, par convention, que la fonction n'est pas définie en ce point. Cela correspond souvent, mais pas forcément, à une asymptote verticale. Nous estimons que la signification des flèches ascendantes et descendantes est claire pour tout le monde.