Mesure d'une longueur

Un 'arc paramétré' (dans le plan ou dans l'espace) est défini par la donnée d'une application t → M(t) d'un intervalle I=[a,b] dans ℝ2 ou dans ℝ3.
Pour toute subdivision t0=a,t1,t2, ...,tn=b de l'intervalle I, on a une suite de points M0=M(t0),M1=M(t1), ... ,Mn=M(tn) de l'arc paramétrée définissant une 'ligne brisée'.
La longueur Ln de cette ligne brisée est définie comme la somme des longueurs des segments MiMi+1:
Ln=M0M1+M1M2 + ... +Mn-1Mn.
L'arc est dit 'rectifiable' si la suite (Ln) tend vers une limite lorsque le pas de la subdivision tend vers 0.
La 'longueur' de l'arc étant alors définie comme la limite de cette suite
Nous traitons ici le cas d'un arc dans le plan. Tout point M(t) est donc défini par ses deux coordonnées (x(t),y(t)).
Sur les fonctions t → x(t) et t → y(t) définies sur [a,b] et à valeurs réelles, nous faisons l'hypothèse qu'elles sont dérivables et de dérivées continues (donc de classe C1).
Dans ces conditions nous pouvons affirmer que l'arc est rectifiable et que sa longueur L est donnée par la formule:
L = a b x ' ( t ) 2 + y ' ( t ) 2 dt

En effet, la longueur Ln est donnée par:
L n = i = 0 n 1 ( x ( t i + 1 ) x ( t i ) ) 2 + ( y ( t i + 1 ) y ( t i ) ) 2
Nous avons par ailleurs d'après la définition de la dérivée:
x ( t i + 1 ) x ( t i ) = x ' ( t i ) ( t i + 1 t i ) + o ( t i + 1 t i )
Qui donne par élévation au carré:
( x ( t i + 1 ) x ( t i ) ) 2 = ( x ' ( t i ) ) 2 ( t i + 1 t i ) 2 + o ( t i + 1 t i ) 2
Et la relation analogue en y, d'où nous tirons:
L n = i = 0 n 1 x ' ( t i ) 2 ( t i + 1 t i ) 2 + y ' ( t i ) 2 ( t i + 1 t i ) 2 + o ( t i + 1 t i ) 2
Et puis
L n = i = 0 n 1 ( t i + 1 t i ) x ' ( t i ) 2 + y ' ( t i ) 2 + o ( t i + 1 t i )
Si maintenant nous posons
S n = i = 0 n 1 ( t i + 1 t i ) x ' ( t i ) 2 + y ' ( t i ) 2
Nous voyons que Sn est une somme de Riemann dont la limite correspond à la valeur de l'intégrale du théorème.
En outre nous avons limn→+∞ Ln-Sn=0 d'où le résultat.

Voici maintenant une appliquette qui calcule la longueur d'un arc par rectification.
Le paramètre varie de -4 à +4, avec un pas de 8/2n où n est un entier au moins égal à 2.
Cliquer sur le bouton 'n+' pour doubler la valeur de n.
Cliquer sur le bouton '-' pour diviserla valeur de n par 2.
On affiche la longueur L de la ligne brisée correspondante pour chaque valeur de n.
La valeur calculée de l'intégrale est 19.92037 on atteint une précision de l'ordre de 1/1000 avec n=256.

Mesure d'un volume

Considérations générales

Pour la mesure des volumes on peut adopter la même approche que pour la mesure des surfaces. Le rôle des rectangles étant tenu par les parallélépipèdes rectangles. Les figures de l'espace pouvant se voir attribuer immédiatement une mesure sont donc les sommes de telles parallépipèdes, ainsi que les figures pouvant être encadrées au moyen de deux suites de telles figures dont les mesures forment des suites adjacentes.
Parmi ces figures figurent les prismes (ou pour être plus précis les prismes tronqués), ainsi que les cylindres tronqués.

Volume d'un prisme

Un 'prisme' est défini par un polygone plan et une direction Δ. C'est la figure engendrée par l'ensemble de toutes les droites (génératrices) passant par un point du polygone et de direction Δ. Le prisme est dit 'droit' si la direction Δ est orthogonale au plan du polygone.
Un prisme 'tronqué' est défini à partir d'un prisme au sens précédent, par la donnée supplémentaire de deux plans parallèles au plan du polygone.
Si le polygone de base est convexe, on démontre facilement que la partie d'un prisme tronqué délimitée par les deux plans est elle-même convexe.
On désigne par 'hauteur' la distance entre les deux plans définissant le prisme.
Tout prisme tronqué à base convexe peut se voir attribuer un volume et se volume est le produit de la surface du polygone de base par la hauteur.
V=S×h
Ceci se vérifie par étapes. Voici une appliquette qui vous permet de visualiser le résultat ci-dessus.
Le prisme représenté a pour base un pentagone de surface S=13.
A l'origine il s'agit d'un prisme droit de hauteur 4 et de volume 52.
Le premier curseur vous permet de faire varier la hauteur, donc le volume.
L'autre curseur vous permet de réaliser une translation de la face supérieure dans un plan horizontal (parallèle à la base du prisme).

Changement hauteur: 
Translation base supérieure: 

Volume d'un cylindre

Les primes sont en fait des cas particuliers de figures plus générales appelées 'cylindres'.
Un 'cylindre' est défini par une courbe fermée plane et une direction Δ. C'est la figure engendrée par l'ensemble de toutes les droites (génératrices) passant par un point de la courbe et de direction Δ. Le cylindre est dit 'droit' si la direction Δ est orthogonale au plan de la courbe fermée (appelée la 'base').
Un cylindre 'tronqué' est défini à partir d'un cylindre au sens précédent, par la donnée supplémentaire de deux plans parallèles au plan de la base.
Si la courbe de base enserre une surface convexe elle-même mesurable, on peut étendre aux cylindres le calcul du volume:
Tout cylindre tronqué à base convexe délimitant une surface mesurable d'aire S, peut se voir attribuer un volume et se volume est le produit de S par la hauteur.
V=S×h
Ce résultat s'obtient à partir du résultat identique pour les prismes par passage à la limite. Cette appliquette vous permet de mesurer l'approximation du volume d'un cylindre par le volume d'un prisme.
Le cylindre représenté a pour base un cercle de rayon 5.
A l'origine il s'agit d'un prisme droit de hauteur 4 et de volume 100*π.
Vous pouvez approximer le cercle par un polygone régulier à n côtés n avec un 'step' de 5.
Appuyer sur le bouton 'n+' pour augmenter la valeur de n.
Le prisme ayant pour base le polygone tend alors à se confondre avec le cylindre.
Le premier curseur vous permet de faire varier la hauteur, donc le volume.
Le second curseur vous permet de modifier la direction de l'axe du cylindre, le volume est inchangé.
V1 est le volume du prisme et V2 le volume du cylindre.

Changement hauteur: 
Translation base supérieure: 
Ordre du polygone inscrit:  

Volume d'un solide convexe

Considérons une figure F de l'espace à 3 dimensions, compris entre les plans de cote 0 et z. On suppose que pour chaque t ∈[0,z], le plan de cote t coupe le volume suivant une surface mesurable et de mesure S(t). On suppose en outre que la fonction t → S(t) est une fonction continue, donc Riemann-intégrable sur [0,t].
Dans ces conditions le volume V de la figure F peut être calculé par une intégration de la fonction S.
V = 0 z S ( t ) dt
La démonstration en toute rigueur n'est pas aisée, mais en voici l'idée générale:
Si t désigne un réel dans l'intervalle [o,z[ et h est choisi de façon que [t,t+h] ⊆ [0,z], alors plus h est petit et plus le volume tend à se confondre avec un cylindre tronqué de hauteur h.
De sorte que si nous prenons une subdivision régulière t0,t1,t2, ... ,tn de raison z/n de l'intervalle [0,z], une approximation du volume V sera donnée par Vn=S(t0)(t1-t0)+S(t1)(t2-t1)+ ... +S(tn-1)(tn-tn-1), qui est une somme de Riemann dont la limite donnera l'intégrale du théorème.
Voici maintenant une appliquette qui calcule une approximation du volume d'une pyramide ayant pour base un carré de côté 16 et une hauteur variable.
On utilise une subdivision régulière de la hauteur (raison h/n).
Vous pouvez faire varier la hauteur h entre 8 et 16 au moyen du curseur.
Cliquer sur le bouton 'n+' pour augmenter la valeur de n.
On affiche l'approximation V1 à l'ordre n du volume, ainsi que le volume exact V2=256h/3.

Ajustement h