On s'intéresse ici à la situation suivante:
On considère une fonction f:ℝ+ → ℝ, que l'on suppose positive, continue et décroissante.
Dans ce cas la série de terme général un=f(n) n∈ ℕ est elle-même à termes positifs décroissants.
La situation est illustrée par la figure ci-dessous:

Nous allons examiner le lien entre la convergence de la série et la convergence de l'intégrale 0 f ( x ) dx

Encadrement de l'intégrale par la série

Les résultats suivants sont des évidences par une simple considération de la figure:
Pour tout entier naturel n on a: f ( n + 1 ) n n + 1 f ( x ) dx f ( n )
Par addition d'inégalités du type ci-dessus et en utilisant la relation de Chasles pour les intégrales, nous obtenons:
s n f ( 0 ) 0 n f ( x ) dx s n 1
où les sn désignent les sommes partielles de la série.
Cela dit si y désigne un réel positif quelconque si E(y) désigne sa partie entière, nous avons toujours:
0 E ( y ) f ( x ) dx 0 y f ( x ) dx 0 E ( y ) + 1 f ( x ) dx
de sorte que: lim y 0 y f ( x ) dx  existe lim n 0 n f ( x ) dx  existe
Il résulte de tout cela que:
Si la série de terme général f(n) converge, alors l'intégrale 0 f ( x ) dx converge également.
En outre si s désigne la somme de la série f(0)+f(1)+ ... +f(n)+ ...
On a l'inégalité:
s f ( 0 ) 0 f ( x ) dx s
et réciproquement:
Si l'intégrale converge alors la série converge et sa somme s vérifie s 0 f ( x ) dx + f ( 0 )
En effet, les sommes partielles sn forment alors une suite croissante et majorée.
Naturellement tout ce qui précède s'applique (mutatis mutandis) aux séries qui commencent au rang 1 au lieu du rang 0.

Encadrement de la série par l'intégrale

De:
i i + 1 f ( t ) dt f ( i ) i 1 i f ( t ) dt
Nous tirons, par addition:
1 n + 1 f ( t ) dt f ( 1 ) + . . . + f ( n ) 0 n f ( t ) dt
Puis un encadrement des sommes partielles de la série:
0 n + 1 f ( t ) dt f ( 0 ) + . . . + f ( n ) f ( 0 ) + 0 n f ( t ) dt
Et, en cas de convergence, un encadrement du reste:
n + 1 f ( t ) dt i = n + 1 f ( i ) n f ( t ) dt

Applications

Nous allons appliquer tout cela aux séries de terme général 1/ns où n désigne un entier ≥1 et s un rationnel quelconque.
Nous avons déjà étudié ces cas, en particulier le cas n=1 (série harmonique divergente) dans cette page.
Un corollaire de ce qui précède est donc:
Si nous désignons par ln(x) la primitive de la fonction 1/x qui s'annule en 1 (définie sur ]0,+∞[), c'est à dire ln ( x ) = 1 x dt t
on a limx→∞ln(x)=+∞
Mais aussi:
Pour s>1 on a
1 1 x s dx = 1 s 1
On obtient donc la preuve de la régle de Raabe-Duhamel pour les valeurs non entières de s.
Nous obtenons en plus une majoration de la somme de la série de terme général 1/ns par s/(s-1)