Motivation

Tout comme nous avons réussi à donner une interprétation graphique à la fonction dérivée (pente de la tangente), nous cherchons ici à donner une interprétation graphique à la notion de primitive.
Cela ne peut se faire de façon satisfaisante qu'au moyen de la notion de 'surface' ou "d'aire" d'une partie du plan.
Cela pose d'entrée certains problèmes théoriques du type: "Quelles sont les parties du plan, susceptibles de se voir attribuer une aire?
La croyance 'naïve' que toute partie est 'mesurable' se heurte très vite à des difficultés théoriques qui ne sont pas forcément liées à la notion de dimension. On rencontre les mêmes problèmes avec la longueur des courbes et la mesure des volumes dans l'espace.
Ces problèmes sont aujourd'hui à peu près résolus, mais il n'y a pas une approche unique de la théorie de la mesure.

Galerie des portraits

Nous suivrons ici les traces de Bernhard Riemann qui a poursuivi le travail de Cauchy dans cette direction et dont la pensée se résume simplement.
Bernhard Riemann (1826/1866-DE)

Mesure des surfaces au sens de Riemann

Il est logique de prendre comme 'briques de base' les rectangles. Les rectangles sont mesurables et ont une aire égale au produit de leur longueur par leur largeur. Cela dit, une fonction de mesure, si on veut qu'elle se comporte comme on est en droit de l'attendre, doit posséder la propriété "d'additivité" (finie), c'est à dire que la mesure de la réunion disjointe de deux parties mesurables doit être mesurable et avoir pour mesure la somme des mesures de chacun d'eux.
Il est donc logique d'accepter comme mesurables les 'sommes de rectangles' (réunions finies de rectangles disjoints) et d'associer à de tels ensembles une mesure qui sera la somme des mesures des rectangles constituants.
Pour finir, on qualifiera un ensemble de 'mesurable' si pour tout réel ε >0, on peut le "coincer" entre deux sommes de rectangles, la première contenue dans lui et la seconde le contenant et telles que la différence de leurs mesures est ≤ ε.
On voit que dans ces conditions que si S est un ensemble ainsi défini, les sommes de rectangles incluses dans S ont une borne supérieure, les sommes de rectangles contenant S ont une borne inférieure et les deux bornes sont égales. C'est justement cette valeur commune que nous appelerons l'aire de S.
Voici maintenant une appliquette qui encadre la surface d'une ellipse de grand axe 4 et de petit axe 2 (surface théorique=2π≈6.28) au moyen de recouvrements par des sommes de carrés de côté 1/2n pour n variant entre 1 et 7.
Cliquer sur le bouton '+' pour augmenter la valeur de n jusqu'à 6.
Cliquer sur le bouton '-' pour diminuer la valeur de n jusqu'à 1.
S1 est une approximation par défaut (surface grise).
S2 est une approximation par excès (surface bleue).
Notons que la moyenne des deux n'est pas très éloignée de la valeur théorique qui vaut 2π.

Voici un programme python qui calcule des approximations par défaut et par excès de la surface de la même ellipse, par la même méthode.

Résultat de l'exécution
5.67 6.92 6.295 6.28318530718
5.965 6.58 6.2725 6.28318530718
6.06444444444 6.47111111111 6.26777777778 6.28318530718
6.16 6.4016 6.2808 6.28318530718
6.2208 6.3412 6.281 6.28318530718 

Hypographe d'une fonction positive

Tout comme, dans le cadre des fonctions convexes, nous avons défini l'épigraphe d'une fonction, nous posons la définition suivante:
On désigne par 'hypographe' de f (f est supposée positive) l'ensemble des points (x,y) définis par x ∈ D (domaine de f) et 0≤y≤f(x)
Vous pouvez, avec l'appliquette ci-dessous, visualiser quelques hypographes.
Appuyer sur le bouton 'choix fonction' pour changer de fonction.

Calculs 'directs' de certaines aires d'hypographes de fonctions continues positives.

Voici un exemple de calcul direct d'une mesure d'aire d'hypographe de la fonction f(x)=xs (s entier >=0) entre 0 et 1.
Faire varier les valeurs de s avec le curseur et n avec les boutons.

La méthode consiste à construire une suite x0=1/n, x1=r/n, x2,..., xn =1 avec xk=x0rk où r = n1/n
Posons I(n,s) la mesure de la somme des rectangles telle qu'elle apparaît sur l'appliquette.
I ( n , s ) = k = 0 n 1 x k s ( x k + 1 x k ) = k = 0 n 1 r ks n s ( r k + 1 n r k n ) = 1 n s + 1 k = 0 n 1 ( r ks + k + 1 r ks + k )
I ( n , s ) = 1 n s + 1 ( k = 0 n 1 r ( r s + 1 ) k k = 0 n 1 r k ( s + 1 ) )
I ( n , s ) = 1 n s + 1 ( r 1 n s + 1 1 r s + 1 1 n s + 1 1 r s + 1 ) = 1 n s + 1 n s + 1 ( r 1 1 r s + 1 )
Mais on a lim n 1 n s + 1 n s + 1 = 1
lim n I ( n , s ) = lim n 1 r 1 r s + 1 = 1 lim n r s + 1 1 r 1
Mais nous avons déjà vu que lim n r = 1
lim n I ( n , s ) = 1 lim r 1 r s + 1 1 r 1
Mais lim r 1 r s + 1 1 r 1 = f ' ( 1 ) où f est la fonction r → rs+1
D'où le résultat final:
lim n I ( n , s ) = 1 s + 1

Résultat fondamental

Nous revenons maintenant à notre point de départ, à notre motivation.
Le résultat essentiel que nous allons établir dans ce chapitre est le suivant:
Si f est une fonction continue positive sur un intervalle [a,b] et si pour tout x, nous posons F(x)= l'aire de l'hypographe de f entre les points d'abscisses a et x, alors F est une primitive de f sur [a,b]. plus précisément F est la primitive de f qui s'annule en a.
Nous traiterons ensuite le cas des fonctions non partout positives pour une généralisation de ce résultat.
Voici maintenant une appliquette qui vous permet de visualiser graphiquement certaines primitives.
Vous pouvez changer de fonction avec le bouton 'Autre exemple'.
Vous pouvez faire varier x entre 0 et 5 avec la souris.