Définition

Soit [a,b] un intervalle compact de la droite réelle.
Soit s=(x0,x1, .., xn) une subdivision de [a,b].
Soit f une fonction étagée relativement à s prenant la valeur constante ki sur chaque intervalle ]xi,xi+1[ 0≤i≤n-1.
On appelle 'intégrale définie de f sur [a,b]' et on note ∫ a b f ( x ) dx le nombre ∑ i = 0 n − 1 k i ( x i + 1 − x i )

Visualisation

Vous pouvez sélectionner un type de subdivision de l'intervalle [1,8] (aléatoire, arithmétique ou géométrique) au moyen des boutons.
Vous pouvez également faire varier le nombre de points de la subdivision avec 'n+' et 'n-'.
Vous pouvez sélectionner un type de fonction étagée (positive, négative ou quelconque).
Les valeurs de la fonction sont aléatoires.
Vous voyez apparaître ∫ 1 8 f ( x ) dx
Subdivision :
Fonction :
Vous voyez que quand f est positive, cette intégrale définie correspond bien à la mesure d'un hypographe.

Propriétés

L'application f → ∫ a b f ( x ) dx est une forme linéaire sur l'espace des fonctions étagées sur [a,b].
La propriété ∫ a b λf ( x ) dx = λ ∫ a b f ( x ) dx résulte immédiatement de la définition.
∫ a b ( f + g ) ( x ) dx = ∫ a b f ( x ) dx + ∫ a b g ( x ) dx est évidente si f et g sont étagées relativement à la même subdivision. Mais si f est étagée relativement à s1 et g relativement à s2 alors toutes les deux le sont relativement à s1∨s2.
Si f est positive alors ∫ a b f ( x ) dx ≥ 0 .
En outre, toujours dans le cas où f est supposée ≥0, et si de plus ∫ a b f ( x ) dx = 0 alors tous les ki sont nuls.
La fonction ne pouvant être non nulle qu'en des points isolés.
Tout cela se vérifie immédiatement sur la définition.

Café Python

Voir l'exercice proposé.