Définition

Soit [a,b] un intervalle compact de la droite réelle et f une fonction numérique définie sur [a,b].
On dit que f est 'étagée' (ou 'en escaliers') sur [a,b], s'il existe une subdivision s=(x0,x1, ...,xn-1,xn) de [a,b] telle que f soit constante sur chacun des intervalles ouverts ]xi,xi+1[ 0≤i≤n-1.
NB: Les valeurs de f en les points xi de la subdivision peuvent être quelconques.
Il résulte immédiatement de cette définition que:
Si f est étagée sur [a,b] relativement à une subdivision s, alors f est étagée relativement à toute subdivision de [a,b] plus fine que s.

Visualisation de quelques fonctions étagées

Voici une appliquette vous permettant de voir certaines subdivisions de l'intervalle [1,8] ainsi que des fonctions étagées relatives à ces subdivisions.
Vous pouvez sélectionner un type (aléatoire, arithmétique ou géométrique) au moyen des boutons.
Vous pouvez également faire varier le nombre de points de la subdivision avec les boutons 'n+' et 'n-'.
Les valeurs de la fonction sont aléatoires.

Structure d'espace vectoriel

Les fonctions étagées sur [a,b] sont munies d'une structure d'espace vectoriel.
Plus précisément, cet ensemble est un sous-espace vectoriel de l'espace de toutes les fonctions bornées sur [a,b].
Il est clair que le produit d'une fonction étagée par un scalaire est encore une fonction étagée.
Il est non moins clair que la somme de deux fonctions étagées relativement à la même subdivision est encore une fonction étagée relativement à cette même subdivision.
Dans le cas général il suffit de remarquer que si f est étagée sur [a,b] relativement à s1 et si g est étagée sur [a,b] relativement à s2, alors f et g sont étagées relativement à s1∨s2.
Vous pouvez avec cette appliquette, visualiser la somme de deux fonctions étagées sur le même intervalle.
Le fonctionnement est identique à la précédente.
Tout ce qui concerne la première fonction est représenté en rouge, y compris son graphe.
Tout ce qui concerne la seconde fonction est représenté en bleu, y compris son graphe.
La fonction représentée en vert est la somme des deux précédentes, elle est également étagée.
Première fonction
Seconde fonction

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