Théorème fondamental

Soit f une fonction R-intégrable sur [a,b], alors pour tout x ∈ [a,b] la fonction x → F(x)= a x f ( x ) dx est partout définie et continue sur [a,b].
En outre, cette fonction est dérivable en tout point x0 de continuité de f et F'(x0)=f(x0).

Le fait que F(x) soit définie est une conséquence d'un résultat déjà-vu ici.
La continuité de F résulte de l'encadrement vu ici, qui prouve que F est lipschitzienne.
Pour la seconde partie nous avons en vertu de la relation de Chasles pour les intégrales F ( x + h ) F ( x ) = x x + h f ( t ) dt
d'où nous tirons:
m ( h ) h F ( x + h ) F ( x ) M ( h ) h où m(h)= infx∈[x,x+h]f(x) et M(h)= supx∈[x,x+h]f(x) en vertu de ce résultat.
Nous en concluons que:
m ( h ) F ( x + h ) F ( x ) h M ( h )
Et comme limh→0m(x) = limh→0M(x)=f(x) si f est continue en x, notre résultat suit.
Voici une appliquette qui vous permet de visualiser ce théorème.
La fonction représentée est f(x)=4/x.
Vous pouvez faire varier x entre les bornes 3 et 6 avec le premier curseur.
Avec le second curseur vous pouvez faire varier h de -1 à +1.
F(x) désigne le nombre F ( x ) = 1 x f ( t ) dt

Conséquences importantes

Si f est continue sur [a,b], f possède une primitive sur [a,b].
La primitive de f qui s'annule en a est F ( x ) = a x f ( t ) dt
C'est évidemment une conséquence immédiate du résultat précédent et du fait que F(a)=0 en vertu de la définition même de l'intégrale de Riermann sur un intervalle de longueur nulle.
Si F est une primitive quelconque de f sur un intervalle I contenant [a,b]
a b f ( x ) dx = F ( b ) F ( a )
Ceci résulte du fait que sur un intervalle une fonction possède au plus une primitive prenant en un point donné une valeur donnée.

Théorème de la moyenne

Si f est continue sur [a,b] alors il existe c ∈ [a,b] tel que a b f ( x ) dx = f ( c ) ( b a )

On obtient cela soit en appliquant le théorème des accroissements finis à une primitive de f soit en partant de l'encadrement: m ( b a ) a b f ( x ) dx M ( b a ) déjà vu ici, et le théorème de la valeur intermédiaire pour les fonctions continues.

Autre résultat important

Si f est une fonction continue positive sur [a,b] et si a b f ( x ) dx = 0 alors f est nulle sur [a,b]

Supposons en effet que f(x0)>0 avec x0∈[a,b]. On pourrait dans ce cas trouver une fonction étagée positive e inférieure à f et verifiant e(x)≥f(x0)/2 sur un intervalle de longueur δ>0. L'intégrale de e sur [a,b], qui minore celle de f, serait donc au moins égale à f(x0)δ/2.

Second théorème de la moyenne

Soit g une fonction continue sur [a,b] et f une fonction dérivable sur [a,b] et dont la dérivée garde un signe constant (ce qui implique que g est monotone).
Dans ces conditions, il existe un nombre c∈[a,b] tel que:
a b f ( x ) g ( x ) dx = f ( a ) a c g ( x ) dx + f ( b ) c b g ( x ) dx

Posons G ( x ) = a x g ( t ) dt
On a alors d'après la formule d'intégration par parties:
a b f ( x ) g ( x ) dx = a b f ( x ) G ' ( x ) dx = f ( b ) G ( b ) a b f ' ( x ) G ( x ) dx = f ( b ) G ( b ) G ( c ) a b f ' ( x ) dx
Soit encore:
a b f ( x ) g ( x ) dx = f ( b ) G ( b ) + ( f ( a ) f ( b ) ) G ( c )
Ce qui est équivalent à l'énoncé du théorème.

Forme dite de 'Bonnet' du théorème précédent

Dans les hypothèses du théorème précédent, si f(b) et f(a)-f(b) ont le même signe alors:
Il existe c entre a et b tel que a b f ( x ) g ( x ) dx = f ( a ) a c g ( x ) dx

Il suffit de remarquer qu'avec les notations de la démonstration précédente:
f(b)X+(f(a)-f(b))Y=μf(a) avec μ entre X et Y, et d'appliquer cela à X=G(b) et Y=G(d) où d est un nombre quelconque de l'intervalle [X,Y].
Donc μ=G(c) avec c ∈[d,b]⊆[a,b].
NB: Ce théorème est encore valable avec des hypothèses beaucoup plus faibles. On peut supposer g seulement R-intégrable sur [a,b] (donc pas forcément continue) et f monotone (donc pas forcément dérivable). Mais la démonstration est alors plus délicate. Le lecteur intéressé est renvoyé par exemple à cet exposé.

Café Python

Un programme de calcul symbolique peut calculer des intégrales définies de fonctions continues.
Voici un exemple de calcul avec le module 'sympy'.
L'intégrale calculée est 2 π 2 cos ( x ) dx qui vaut 2.