Nous allons ici étendre la notion d'intégrale au sens de Riemann à des intervalles sur lesquels la fonction n'est pas bornée ou pas entièrement définie ainsi qu'à des intervalles de longueur infinie.

Premier cas: La fonction n'est pas définie sur une des bornes de l'intervalle d'intégration.

Nous nous intéressons au cas d'un intervalle [a,b] et d'une fonction définie et intégrable sur tout intervalle [c,b] avec a<c<b, ou bien une fonction définie et intégrable sur tout intervalle [a,c] avec a<c<b.
La fonction est éventuellement non bornée sur ]a,b[.
Dans ces conditions, si la limite lim c a + c b f ( x ) dx existe
nous convenons de la noter a b f ( x ) dx
et de l'appeler encore "l'intégrale de a à b de la fonction f".

Exemples

On vérifie facilement que 0 1 1 x dx est convergente, et que 0 1 1 x dx ne l'est pas.

Visualisation d'intégrales convergentes et divergentes du premier type

Voici une appliquette vous permettant de visualiser 1 x f ( t ) dt Pour les deux fonctions f(t)=1/√t et f(t)=1/t.
Vous pouvez basculer entre les deux fonctions au moyen du bouton vert 'fonc1'.
Vous pouvez ajuster x simultanément avec la réglette et avec la roulette.
Avec le premier curseur vous déterminez un nombre entre 0.01 et 1.
Avec le second curseur vous déterminez une puissance négative de 10 de 10 entre 0 et -6.
La valeur de x est le produit des deux.
La valeur minimale que l'on peut atteindre est donc 10-7.

Second cas: La fonction n'est définie sur aucune des bornes de l'intervalle d'intégration.

Nous nous intéressons au cas d'un intervalle [a,b] et d'une fonction définie et intégrable sur tout intervalle [c,d] avec a<c<d<b. La fonction est éventuellement non bornée sur ]a,b[.
Dans ces conditions s'il existe un point e ∈]a,b[ tel que, les deux limites
lim c a + c e f ( x ) dx et lim d b - e d f ( x ) dx
existent toutes deux
alors la somme de ces deux intégrales sera notée a b f ( x ) dx et appelée "l'intégrale de f sur [a,b]".
On vérifie immédiatement grâce à la relation de Chasles pour les intégrales définies que l'intégrale impropre ainsi définie ne dépend pas du point e intérieur à [a,b] choisi.

Troisième cas: Une des bornes de l'intervalle d'intégration est infinie.

Nous nous intéressons aux fonctions définies sur [a,+∞[ et intégrables sur tout intervalle [a,b].
Dans ces conditions si la limite
lim b +∞ a b f ( x ) dx
existe
Nous la notons a +∞ f ( x ) dx et l'appelons "l'intégrale de f sur [a,+∞[".
Les intégrales -∞ b f ( x ) dx sont définies de la même manière par passage à la limite.

Exemples

On vérifie immédiatemment que 1 + 1 x 2 dx existe et que 1 + 1 x dx n'existe pas.

Visualisation d'intégrales convergentes et divergentes du troisième type

Voici une appliquette vous permettant de visualiser 1 x f ( t ) dt Pour les deux fonctions f(t)=1/t et f(t)=1/t2.
Vous pouvez basculer entre les deux fonctions au moyen du bouton vert 'fonc1'.
Vous pouvez ajuster x simultanément avec la réglette et avec la roulette.
Avec le premier curseur vous déterminez un nombre entre 1 et 10.
Avec le second curseur vous déterminez une puissance de 10 entre 0 et 6.
La valeur de x est le produit produit des deux.
La valeur maximale que l'on peut atteindre est donc 107.

Quatrième cas: les deux bornes de l'intervalle d'intégration sont infinies.

On s'intéresse à des fonctions définies sur ℝ et R-intégrables sur tout intervalle [a,b].
Dans ces conditions, s'il existe un réel e tel que les deux intégrales impropres
e f ( x ) dx et e + f ( x ) dx
existent toutes les deux,
alors leur somme est notée - + f ( x ) dx et appelée "l'intégrale de f sur ℝ"
On peut facilement montrer que dans ce cas la définition ne dépend pas du point e.
Cependant ne pas croire qu'une condition suffisante pour l'existence de - + f ( x ) dx est que:
lim a a + a f ( x ) dx existe.
Il se peut que les deux intégrales
lim a 0 + f ( x ) dx et lim a 0 f ( x ) dx
divergent toutes deux mais que leurs divergences soient compensées.

Exemple

Un calcul rapide prouve que + 1 1 + x 2 dx = π

Cinquième cas: Une des bornes de l'intervalle d'intégration est infinie et la fonction n'est pas définie sur l'autre borne.

On s'intéresse maintenant à des cas correspondant à des combinaisons des cas précédents.
Supposons par exemple que la fonction f soit R-intégrable sur tout intervalle [c,d] avec a<c;≤d;.
Dans ces conditions, s'il existe un point b>a tel que les deux intégrales impropres
a b f ( x ) dx d'une part, et b + f ( x ) dx d'autre part existent
Alors la somme de ces deux intégrales sera notée a + f ( x ) dx et appelée "l'intégrale de f sur [a,+∞[".

Intégrales absolument convergentes

Nous allons maintenant développer un parallèle complet avec ce que nous avons vu sur les séries absolument convergentes.
L'inégalité qui était invoquée à répétition dans le cas des séries était:
i = 0 n u i i = 0 n u i
Elle sera ici remplacée par:
a b f ( x ) dx a b f ( x ) dx
Moyennant quoi on obtient dans tous les cas ci-dessus des conditions suffisantes de convergence pour les intégrales impropres.
Voici par exemple un énoncé induit (parmi tous ceux que nous pouvons imaginer) dans lequel la fonction peut être définie en a ou ne pas être définie en ce point (ce qui fait en fait deux énoncés distincts).
Une condition suffisante pour que l'intégrale a +∞ f ( x ) dx existe est que l'intégrale a +∞ f ( x ) dx existe.
On dit dans ce cas que l'intégrale a +∞ f ( x ) dx est 'absolument convergente'
Remarquons encore que dans le cas d'une fonction positive il y a évidemment équivalence entre intégrale 'convergente' et intégrale 'absolument convergente' et que certains énoncés faux en toute généralité deviennent vrais pour les fonctions positives, par exmple:
Si f est partout ≥0 une condition suffisante pour l'existence de - + f ( x ) dx est que:
lim a a + a f ( x ) dx existe.

Extensions des formules de transformations usuelles

On peut se demander si les formules usuelles du calcul intégral (intégration par parties, changement de variable) restent valables pour les intégrales impropres.
Le problème est que ces formules conduisent à des égalités n'ayant en général pas de sens (valeur en l'infini d'une fonction...).
Nous suggérons donc de revenir à la définition des intégrales impropres comme limites d'intégrales propres, d'appliquer les formules de transformation à ces intégrales puis d'essayer de passer à la limite dans les équations obtenues.
En procédant de la sorte on remplace généralement le calcul d'une intégrale impropre par le calcul d'une autre intégrale impropre, mais il se peut que cette autre intégrale soit plus facile à calculer. Donc le recours à ces substitutions peut se révéler utile. Voici par exemple un énoncé possible:
Soient f et g continûment dérivables sur tout intervalle [a,x[ avec x<b.
On suppose que limx→bf(t)g(t) existe.
Dans ces conditions: a b f ' ( t ) g ( t ) dt et a b g ' ( t ) f ( t ) dt
sont de même type (toute deux convergentes ou toutes deux divergentes).
En outre, si elles convergent, on a:
a b f ' ( t ) g ( t ) dt = [ f ( t ) g ( t ) ] a b a a f ( f ) g ' ( t ) dt
[ f ( t ) g ( t ) ] a b = lim t b f ( t ) g ( t ) f ( a ) g ( a )
Ici le symbole b peut représenter soit un nombre fini soit le symbole +∞.
Et voici un autre énoncé possible:
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et u une fonction monotone croissante, continûment dérivable sur [a,b[, telle que u([a,b[) ⊆ I et limt→bu(t)=u(b).
Dans ces conditions les intégrales:
a b f ( u ( t ) ) u ' ( t ) dt , d'une part
et
u ( a ) u ( b ) f ( u ) du d'autre part.
Sont de même nature (toutes deux convergentes ou divergentes), et égales quand elles sont convergentes.
Ici encore les symboles b et u(b) peuvent représenter soit un nombre fini soit le symbole +∞.

Café Python

Certaines intégrales impropres peuvent être calculées avec des modules spécialisés.
Voici un exemple d'utilisation de 'sympy' pour le calcul de l'intégrale de Gauss :
+ e x 2 dx = π 2