I désigne ici un intervalle [a,b] et on considère des suites de fonctions (fn)n∈ℕ supposées toutes intégrables sur I au sens de Riemann. On s'intéresse particulièrement au cas où les fn convergent vers une limite f sur I, la question étant de savoir si la fonction limite f est elle-même Riemann-intégrable sur I et si son intégrale s'obtient par passage à la limite, c'est à dire a b f ( x ) dx = lim n a b f n ( x ) dx
Nous allons voir que la réponse dépend essentiellement du mode de convergence de la suite (fn) ainsi que d'hypothèses supplémentaires faites sur les fn ainsi que sur leur limite f.
Nous commencerons par étudier des cas simples, puis nous verrons qu'avec des hypothèses faibles la réponse à notre question est négative. Nous montrerons enfin des conditions suffisantes pour que notre affirmation soit vérifiée.

Cas d'une limite uniforme de fonctions intégrables

Nous disposons du théorème suivant:
Si (fn) est une suite de fonctions Riemann-intégrables sur [a,b] convergeant uniformément vers f sur [a,b], alors f est Riemann-intégrable sur [a,b] et a b f ( x ) dx = lim n a b f n ( x ) dx

Cela résulte du fait qu'une limite uniforme de fonctions Riemann-intégrables est encore Riemann-intégrable.
En effet, si ε est un nombre positif donné et si fn est une fonction Riemann-intégrable sur [a,b] telle que Sup x∈[a,b] |f(x)-fn(x)| < ε alors on peut trouver des fonctions étagées sur [a,b] un et vn telles que un majore fn, vn minore fn et a b ( u n ( x ) v n ( x ) ) dx ε
Posant alors Un=un+ε et Vn=vn-ε Un majore f et Vn minore f, et on a en outre a b ( U n ( x ) V n ( x ) ) dx ε + 2 ε ( b a )
Dans l'inégalité ci-dessus le membre de droite peut être rendu aussi petit qu'on veut pourvu que ε soit suffisamment petit.
Ce premier point étant vérifié, nous avons bien entendu:
a b f ( x ) f n ( x ) dx ( b a ) sup x [ a , b ] f ( x ) f n ( x )
D'où notre résultat final.
Ce théorème s'applique donc au cas particulier des suites de fonctions étagées, réglées ou continues, et dans le cas des fonctions continues nous avons le résultat supplémentaire que la fonction limite f est elle-même continue.

Cas d'une limite simple

Tout d'abord il peut arriver que la limite simple d'une suite de fonctions Riemann-intégrables sur un intervalle, ne soit pas elle-même Riemann-intégrable sur cet intervalle (c'est là une des motivations de la théorie de Lebesgue).
Soit n → rn une 'énumération' des rationnels de l'intervalle [0,1], c'est à dire une bijection de l'ensemble ℕ sur ces rationnels qui sont, nous le savons, en infinité dénombrable.
Pour chaque n nous désignons par fn la fonction caractéristique de l'ensemble fini {r0,r1, ..,rn}.
La limite simple des fn est la fonction caractéristique de [0,1]∩ℚ, laquelle n'est pas Riemann-intégrable sur [0,1] (revoir ce point).
Nous allons maintenant illustrer, au moyen d'un contre-exemple, le fait que le résultat précédent n'est plus valable quand la convergence n'est plus uniforme, même dans le cas où la limite est intégrable.
Soit I=[0,1] et désignons pour n entier n≥1 par fn la fonction caractéristique de l'intervalle ouvert ]0,1/n[ multipliée par n.
Les fn sont donc étagées et :
f n ( x ) = { n si  x ] 0 , 1 n [ 0 sinon
On vérifie immédiatement que la suite fn converge simplement vers la fonction nulle (d'intégrale nulle) sur [0,1].
On vérifie, non moins facilement, que pour tout entier n on a:
0 1 f n ( x ) dx = 1
Voici une appliquette vous permettant de visualiser la situation:
Cliquer sur le bouton 'n+' pour augmenter la valeur de n jusqu'à 10 maximum.
Cliquer sur le bouton 'n-' pour diminuer la valeur de n.

Cas d'une suite bornée

Le résultat suivant s'inspire du théorème dit de 'convergence dominée' de la théorie de l'intégration de Lebesgue (non étudiée ici). Il constitue une forme adaptée aux fonctions Riemann-intégrables.
Dans le contre-exemple donné ci-dessus, tout est fondé sur le fait que les fonctions fn montent de plus en plus haut et restent à un niveau élevé de moins en moins longtemps. Si l'on impose aux fn de former une suite bornée, la chose devient impossible.
Ce que nous entendons par 'suite bornée' n'est pas simplement une suite de fonctions bornées mais une suite de fonctions dont la valeur absolue est majorée par un nombre M indépendant de n.
Soit (fn) une suite bornée de fonctions numériques définies et Riemann-intégrables sur [a,b] convergeant simplement vers une fonction f sur [a,b].
Dans ces conditions f est également Riemann-intégrable sur [a,b] et a b f ( x ) dx = lim n a b f n ( x ) dx
La démonstration de ce résultat est longue et elle n'est pas simple. On peut consulter par exemple les Fiches d'agrégation interne de J-F Burnol

Extension aux intégrales impropres

Les résultats ci-dessus ne s'étendent malheureusement pas aux intégrales sur des intervalles non bornés.
Désignons par exemple par fn la fonction caractéristique de l'intervalle ]0,n[ multipliée par 1/n.
f n ( x ) = { 1/n si  x ] 0 , n [ 0 sinon
Il est clair que la suite (fn) converge uniformément vers 0 sur [0,+∞[.
Il est non moins clair que 0 +∞ f n ( x ) dx = 1