Notion de dérivée partielle

On suppose que f est une fonction de 2 variables (t,x) → f(t,x), définie sur un produit de deux intervalles.
On définit la 'dérivée partielle' de f par rapport à x au point (t0,x0) comme étant la dérivée de la fonction d'une variable x → f(t0,x) au point x0. Cette dérivée partielle se note f x ( t 0 , x 0 ) . De sorte que:
f x ( t 0 , x 0 ) = lim h 0 f ( t 0 , x 0 + h ) f ( t 0 , x 0 ) h
On peut définir de la même façon la notion de dérivée partielle par rapport à chacune des variables d'une fonction d'un nombre quelconque de variables.
Exemple: si f(t,x)=tx2
f x ( t 0 , x 0 ) = 2 t 0 x 0
f t ( t 0 , x 0 ) = x 0 2

Continuité d'une fonction de deux variables

Soit f une fonction de deux variables définie sur un produit d'intervalles I × J.
On dit que f est continue au point (t0,x0)si pour tout réel ε>0, il existe η>0 tel que:
√((t-t0)2+(x-x0)2) < η ⇒ |f(t,x)-f(t0,x0)| < ε
NB: Dans l'inégalité ci-dessus le membre de gauche représente la distance euclidienne dans le plan des points M0(t0,x0), M(t,x), de sorte que la définition peut encore s'énoncer:
∀ ε > 0 ∃ η > 0 tel que d(M,M0) < η ⇒ d(f(M),f(M0)) < ε
C'est en fait cette dernière formulation qui permet de généraliser la notion de fonction continue à des fonctions définies sur ℝp et à valeurs dans ℝq.
Notons que si f est continue en tant que fonction de deux variables alors quand on fixe une des deux variables on obtient une fonction continue de l'autre variable. Cependant la réciproque est fausse comme le montre l'exemple suivant:
f ( t , x ) = ( t + x ) 2 t 2 + x 2 si (t,x) ≠ (0,0) et f(0,0)=1. Les fonctions t → f(t,0) et x → f(0,x) sont toutes les deux continues à l'origine mais la fonction f n'est pas continue en (0,0) en tant que fonction de deux variables comme on peut le voir en faisant tendre (t,x) vers (0,0) sur la droite d'équation x=-t.
Nous aurons également besoin du théorème suivant, analogue d'un théorème connu pour les fonctions d'une variable:
Si f est continue sur un produit de deux intervalles compacts I et J alors Pour tout ε >0 donné, il existe η >0 tel que d((t,x),(t',x')) < η ⇒ |f(t,x)-f(t',x')| < ε
Ce théorème, qui exprime la continuité uniforme sur un produit de compacts d'une fonction continue se démontre de façon tout à fait analogue au cas d'une variable.

Enoncé du théorème

Le théorème que nous allons énoncer appartient encore à la catégorie des inversions de limites, puisqu'il s'agit de 'dérivation sous le signe d'intégration'.
Soit I un intervalle [a,b] et J un intervalle compact. On considère une application f définie sur I×J f: (t,x) → f(x,t). On fait sur f les hypothèses suivantes:
Dans ces conditions:

Les intégrales définissant les fonctions G et g existent parce que l'hypothèse de continuité des fonctions f et f x comme fonctions de deux variables entraîne leur continuité séparée en fonction de chacune des deux variables.
Par ailleurs, Pour ε > 0 donné, il existe δ > 0 tel que |x-x'| < δ ⇒ f x ( t , x ' ) f x ( t , x ) e b a pour une raison d'uniforme continuité de la dérivée partielle sur I × J.
Cette remarque étant faite on a par définition d'une dérivée:
G ' ( x ) = lim h 0 a b f ( t , x + h ) f ( t , x ) h dt
Maintenant si nous prenons h tel que |h|<δ le théorème des accroissements finis nous donne:
f ( t , x + h ) f ( t , x ) h = f x ( t , x + θh )
où &theta ∈ ]0,1[.
Nous avons alors
G ( x + h ) G ( x ) h g ( x ) a b f x ( t , x + θh ) f x ( t , x ) dt
et donc G ( x + h ) G ( x ) h g ( x ) ε d'où notre résultat.
Remarquons encore que:
Le théorème précédent vaut si J est un intervalle quelconque (et pas seulement un intervalle compact)
Il suffit en effet pour le voir de remarquer que tout intervalle est réunion d'une suite croissante d'intervalles compacts.