Définition

Soit f une fonction bornée sur [a,b].
On vérifie immédiatement que:
Les sommes de Darboux supérieures D(f,s) sur [a,b] sont toutes minorées par m(b-a) où m=Infx∈[a,b]f(x).
Les sommes de Darboux inférieures d(f,s) sur [a,b] sont toutes majorées par M(b-a) où M=Supx∈[a,b]f(x).
Il en résulte (théorème d'existence des bornes supérieures et inférieures) que:
D=infsD(f,s) est un nombre fini dans l'intervalle [m(b-a),M(b-a)].
d=supsd(f,s) est un nombre fini dans l'intervalle [m(b-a),M(b-a)].
NB: Dans l'énoncé qui précède les bornes supérieures et inférieures sont à prendre sur l'ensemble de toutes les subdivisions de [a,b].
En outre puisque on a toujours d(f,s1)≤D(f,s2) (revoir ce résultat), il en résulte que d≤D.
On dit que f est 'intégrable au sens de Riemann' (ou Riemann-intégrable) sur [a,b] si D=d.
Dans ce cas la valeur commune de D et d est appelée "l'intégrale définie de f sur [a,b]" et notée a b f ( x ) dx
Il résulte de cette définition que les fonctions étagées sont Riemann-intégrables et que leur intégrale au sens de Riemann est la même que celle définie précédemment.
On voit immédiatement que cette définition est équivalente à:
f est Riemann-intégrable sur [a,b] si et seulement si, pour tout ε>0 il existe deux fonctions étagées E et e sur [a,b], vérifiant: e≤f≤E et a b E ( x ) dx a b e ( x ) dx ε
Cela signifie donc que dans le cas d'une fonction positive l'hypographe de f entre a et b est mesurable au sens que nous avons précisé dans l'introduction à ce chapitre et que l'intégrale est le mesure de cet hypographe.

Examinons maintenant le cas d'une fonction négative.

Voici une appliquette qui vous permet de voir l'encadrement d'une intégrale par des sommes de Darboux pour une fonction négative.
Vous pouvez sélectionner un type (aléatoire, arithmétique ou géométrique) au moyen des boutons.
Vous pouvez également sélectionner le nombre de points avec les boutons 'n+' et 'n-'.
Vous voyez apparaître les sommes de Darboux supérieures et inférieures en rouge et en bleu sur le graphique.

L'intégrale apparaît cette fois comme la mesure d'un épigraphe.

Passons au cas général.

Vous pouvez voir, au moyen de l'appliquette ci-dessous, l'intégrale de 0 à x de certaines fonctions prenant des valeurs positives et négatives.
Vous pouvez changer de fonction avec le bouton 'Autre exemple'.
Vous pouvez également faire varier x en attrapant le point avec la souris.

Vous voyez que l'intégrale définie apparaît comme une différence de mesures d'hypographes avec des mesures d'épigraphes.

Extension de la définition de l'intégrale définie

Commençons par une propriété intuitive, simple mais importante:
Si f est R-intégrable sur (a,b] alors f est R-intégrable sur [c,d] pour tout intervalle [c,d] ⊆ [a,b].

La preuve ne présente pas de difficultés particulières.
Choisissons s telle que Δ(f,s)≤ε. (le Δ étant ici relatif à l'intervalle [a,b]).
Ajoutons à s les deux points c et d s'ils ne font pas partie de la subdivision. On obtient ainsi une subdivision s' plus fine de [a,b], donc Δ(s')≤ε.
Si maintenant nous désignons par s" la subdivision de [c,d] constituée par la trace de s' sur [c,d], on a Δ(s") ≤ Δ(s') ≤ ε (le symbole Δ de gauche étant relatif cette fois à l'intervalle [c,d]).
Jusqu'à présent nous avons donné un sens à a b f ( x ) dx quand a<b
Nous convenons maintenant de poser:
a b f ( x ) dx = { 0 si a = b b a f ( x ) dx  si a > b
Il résulte de ces nouvelles définitions que:
a c f ( x ) dx = a b f ( x ) dx + b c f ( x ) dx
chaque fois que les 3 intégrales ont un sens.
Cette égalité porte le nom de 'relation de Chasles' pour les intégrales.
Elles se démontre en considérant toutes les configurations possibles pour les 3 points a,b,c.
Par exemple si a≤b≤c, elle est trivialement vraie pour les fonctions étagées, et on obtient le résultat pour les fonctions Riemann-intégrables par passage à la limite.

Autres propriétés

Les fonctions Riemann-intégrables sur [a,b] ont une structure d'espace vectoriel, et même d'algèbre.
Ce résultat est indissociable du suivant:
L'intégrale est une forme linéaire sur l'espace des fonctions Riemann-intégrables sur [a,b].

En fait si f1 et f2 sont des fonctions étagées encadrant f, f1≤f≤f2 et si g1 et g2 sont deux fonctions étagées encadrant g, g1≤g≤g2, alors f1+g1 et f2+g2, qui sont, nous l'avons vu, étagées encadrent f+g, de sorte que notre affirmation résulte du fait que l'intégrale est linéaire sur les fonctions étagées. Par ailleurs la formule a b λ f ( x ) dx = λ a b f ( x ) dx valable pour les fonctions étagées, 'passe' aux fonctions Riemann-intégrables par encadrement.
Pour vérifier qu'on a une structure d'algèbre, il faut montrer que le produit de deux fonctions Riemann-intégrables est encore du même type.
On commence par étudier le cas où les deux fonctions sont positives. En appliquant le fait que le produit de deux fonctions étagées est une fonction étagée, on encadre le produit fg par des fonctions étagées qui sont des produits de fonctions encadrant f par des fonctions encadrant g.
Pour le cas général il suffit de remarquer que toute fonction est différence de deux fonctions positives. f=f+ - f- où f+(x)=Sup (f(x),0) et f-(x)=Sup(-f(x),0). Le produit fg apparaît alors comme une combinaison linéaire de produits de fonctions positives.
L'intégrale est une forme linéaire positive, c'est à dire que f≥0 sur [a,b] ⇒ a b f ( x ) dx 0
En effet ce résultat est vrai si f est étagée. Le retour à la définition par les sommes de Darboux permet de conclure en toute généralité.
La combinaison des deux résultats qui précédent entraîne:
Si f≥g sur [a,b] alors a b f ( x ) dx a b g ( x ) dx
Le résultat qui précède admet comme cas particulier:
Si M=Supx∈[a,b]f(x) et m=Infx∈[a,b]f(x) alors m ( b a ) a b f ( x ) dx M ( b a )
On a toujours:
a b f ( x ) dx a b f ( x ) dx
Si f+(x)=Sup (f(x),0) et f-(x)=Sup(-f(x),0) on a f=f+-f- et |f|=f++f-. Cet énoncé résulte donc du fait que f est une forme linéaire positive.
Nous allons maintenant donner des conditions suffisantes pour que certaines fonctions courantes possèdent une intégrale au sens de Riemann.

Fonctions réglées sur un intervalle

On dit que f est 'réglée' sur [a,b] si f est limite uniforme d'une suite de fonctions étagées sur [a,b].
Concernant les fonctions réglées nous avons la proposition suivante:
Toute fonction réglée sur [a,b] est Riemann-intégrable sur [a,b].
Soit en effet ε un réel >0 donné et g une fonction étagée telle que Supx∈[a,b]|f(x)-g(x)|≤ε. Alors la fonction étagée e=g-ε minore f tandis que E=g+ε majore f, et on a a b E ( x ) dx a b e ( x ) dx 2 ε ( b a ) D'où notre proposition.
Nous allons maintenant caractériser les fonctions réglées sur un intervalle.
Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction soit réglée sur [a,b] est qu'en tout point x ∈ ]a,b[ f possède en x une limite à droite et une limite à gauche, que f possède une limite à droite en a et une limite à gauche en b.

La condition est nécessaire. On se donne ε>0. Supposons que f soit limite uniforme d'une suite de fonctions étagées (fn). Alors il existe n tel que Supx∈[a,b]|f(x)-fn(x)|≤ε/3. Pour tout x de [a,b] il existe un intervalle ]c,d[ contenant x tel que |fn(s)-fn(t)| lorsque s et t sont tous deux dans ]c,x[ ou tous deux dans ]x,d[. Nous avons donc en utilisant l'inégalité triangulaire et dans les mêmes hypothèses sur s et t |f(s)-f(t)|≤ε , ce qui prouve l'existence des limites à droite et à gauche de f qui satisfait de chaque côté au critère de Cauchy.
La condition est suffisante. Pour tout entier n et tout x ∈ [a,b], il existe un intervalle ouvert V(x)=]c(x),d(x)[ tel que |f(s)-f(t)|≤1/n si s et t sont tous deux dans ]c(x),x[∩[a,b] ou dans ]x,d(x)[∩[a,b]. Comme [a,b] est un intervalle compact on peut le recouvrir par un nombre fini d'intervalles V(xi) (voir cette page). Considérons maintenant la subdivision formée par les points a,b, xi, ci(x), di(x) (en ordre croissant).On désigne cette subdivision par (y0,y1, ...,ym). Soit alors gn la fonction étagée constante sur chaque intervalle ]yi,yi+1[ et prenant la valeur f((yi+yi+1)/2). On a Supx∈[a,b] |f(x)-gn(x)|≤1/n.

Quelques exemples de fonctions réglées (donc Riemann-intégrables).

Une fonction est dite 'continue par morceaux' sur [a,b] est une fonction telle qu'il existe une subdivision s=(x0,x1, ... ,xn) de [a,b] telle que f possède une limite à droite et à gauche en chacun des xi 1≤i≤n-1, f possède une limite à droite en x0=a, f possède une limite à gauche en xn=b et f est continue sur chaque intervalle ouvert ]xi,xi+1[, 0≤i≤n-1. Autrement dit f doit être prolongeable par continuité à chaque intervalle fermé [xi,xi+1].
Les fonctions monotones sont en effet réglées puisqu'en tout point elles possèdent une limite à droite et une limite à gauche.
Par exemple si f est croissante limx→a-,x<a f(x) =Inf x<a f(x)
Cependant les fonctions réglées, bien que constituant une catégorie importante de fonctions Riemann-intégrables, ne sont pas les seules fonctions Riemann-intégrables.
Un exemple classique est la fonction définie par f(x)=sin(1/x) si x≠0 et f(0)=0. (voir cet exercice).

Un exemple de fonction non-intégrable au sens de Riemmann

Nous avons jusqu'à présent donné beaucoup d'exemples de fonctions intégrables au sens de Riemann. Le lecteur pourrait croire que toutes les fonctions le sont.
De la même façon que la plupart des fonctions ne sont pas continues, que la plupart des nombres réels sont transcendants, on retrouve toujours les mêmes 'rares' exemples dans les traités. C'est un paradoxe auquel nous n'échapperons pas cette fois encore. Nous allons donner un exemple de fonction non intégrable au sens de Riemann. C'est la 'fonction caractéristique' de ℚ.
Il est facile de voir que pour cette fonction f sur l'intervalle [0,1], nous avons D=1 et d=0 (nous reprenons ici les notations des sommes de Darboux).